队列:循环队列和双端队列/受限双端队列

循环队列的长度

• 我们设循环队列的长度(队列中存在的元素数量(实际有效长度))$为L$
• 为了方便计算,我们为循环队列打了两重下标,第二重开始的下标是虚拟的
  • 第二重下标是第一重下标加上MaxSize后得到的(本例中MaxSize=8)
• 并且,队列头指针F总是沿着顺时针的方向追赶队尾指针R
• 我们允许R取得第二重下标,而F只允许取第一重下标中的值
  • 这样,队列的元素数量(实际长度)就可以表示为:
    • $L^{\prime }=R-F,但是由于R可以取得第二重下标,因此L^{\prime }可能是L,也可能是L+MaxSize$
    • 而实际上,我们知道队列的元素长度$L$是不会超过$Maxsize,即L⩽Maxsize$;
    • 恰好地,我们有一种运算(取模运算),$可以使得L+K\times MaxSize\to L$
      • $L=(L+K\times MaxSize)\%MaxSize$
  • 为了同一表达式,我们限制R的值只可以在第二重下标中取得,并把此时的值记为($R^{\prime }=R+MaxSize$)
    • $从而L=(R^{\prime }-F)\%MaxSize=(R+MaxSize-F)$

循环队列满/空判断

空判断

• 对于空队列,有Q.rear==Q.front

满判断

• 判断队列满的方案有多种
  • 牺牲掉一个位置来判断队满
    • 具体的判空条件为(Q.rear+1)%MaxSize==Q.front
      • 之所以这里要用$MaxSize$,$是考虑到队满发生在Q.rear=MaxSize-1$
      • 这种情况下$Q.rear+1=MaxSize$,这超过了数组下标的范围
      • $而Q.front$不可能超过数组的下标范围,这样及时满足队满条件,也无法做出正确判断!
  • 在队列的数据类型中设置size成员来表示队列元素个数
  • 或者设置tag成员来区分Q.front==Q.rear是队满还是队空

循环队列入队

• 假设rear指针指向
  • 队尾元素本身,或者
  • 队尾元素的下一个位置(空位)
• 检查队列是否已满(上面两种rear的定义情况都可以用以下条件进行判满)
  • (Q.rear+1)%MaxSize==Q.front
• 如果未满,则更新维护队尾指针rear=(rear+1)%MaxSize

循环队列入队

• front=(front+1)%MaxSize

受限双端队列

双入单出

输入队列(按照左优先来组织(以1为中心))

• 共产生:$1\times 2^3=8$中入队序列

2从左边入队

3从左侧入队

1. 4321(4从左侧入队)
2. 3214(4从右侧入队)

3从右侧入队

1. 4213(4从左入队侧)
2. 2134(4从右侧入队)

2从右边入队

3从左侧入队

1. 4312
2. 3124

3从右侧入队

1. 4123
2. 1234

小结:

• 对于单出双端队列,其入队序列,一个鲜明的特点在于入队序列的(第一个入队的元素)起点是1(或者是第一个进入队列的元素)

• 起点的两侧序列的元素序号各自从起点向外侧递增(类似于抛物线)

双出单入

• 单入双处在进入序列是唯一的,但是在出队列上的可能性是很多的
• 甚至于,当入队序列的长度n不超过3,即$n⩽3$的时候,任意的出队列都有可能(覆盖n的全排列$A_n^n=n!$)
• 而当队列长度达到4的时候($n>3$),那么会有一些出队列的序列是无法做到的,例如:
  • 42xx打头的出队序列就无法实现
    • 4213
    • 4231
    • 这是因为:
      • 最后一个入队列的元素4作为第一个出队元素,那么可以确定,4出队的时候,所有其他元素(1,2,3)都还在队列中
      • 导致2被加载1与3之间,无法在作为跟在4后面紧接着出列
      • 但是同时我们发现,41xx和43xx都是可以实现的出度序列