自动控制原理9.2---线性系统的可控性与可观测性(上)

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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2.线性系统的可控性与可观测性

• 如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的初态达到原点，则称系统是完全可控的；否则，称系统是不完全可控的；
• 如果系统所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可观测，否则，称系统是不完全可观测的；

2.1 可控性

线性时变系统的状态方程：
$$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),t\in T_t$$
其中：

• $x$为$n$维状态向量；
• $u$为$p$维输入向量；
• $T_t$为时间定义区间；
• $A(t)、B(t)$分别为$n\times n$矩阵和$n\times p$矩阵；

状态可控、系统可控和不可控定义：

• 状态可控：对于线性时变系统，如果对取定初始时刻$t_0\in T_t$的一个非零初始状态$x(t_0)=x_0$，存在一个时刻$t_1\in T_t,t_1>t_0$和一个无约束的容许控制$u(t),t\in [t_0,t_1]$，使状态由$x(t_0)=x_0$转移到$t_1$时刻的$x(t_1)=0$，则称此$x_0$是在$t_0$时刻可控的；

• 系统可控：对于线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在$t_0(t_0\in T_t)$时刻可控的，则称系统在时刻$t_0$是完全可控的或一致可控的，简称系统在时刻$t_0$可控；

• 系统不完全可控：对于线性时变系统，取定初始时刻$t_0\in T_t$，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻$t_0$是不可控的，则称系统在时刻$t_0$是不完全可控的，亦称系统是不可控的；

• $u(t)$是容许控制的，即$u(t)$的每个分量$u_i(t)(i=1,2,\dots ,p)$均在时间区间$T_t$上平方可积，即：
  $${\int }_0^T|u_i(t){|}^2\mathrm{d}t<\infty ；t_0,t\in T_t$$

• 状态与系统的可达：对于线性时变系统，若存在能将状态$x(t_0)=0$转移到$x(t_f)=x_f$的控制作用，则称状态$x_f$是$t_0$时刻可达的；若$x_f$对所有时刻都是可达的，则称$x_f$为完全可达或一致可达的；若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻$t_0$可达的，则称该系统是$t_0$时刻状态完全可达的，或简称该系统是$t_0$时刻可达的；对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；

2.2 可观测性

可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，同时考虑系统的状态方程和输出方程：
$$\begin{array}{rl}& \dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),t\in T_t\\ & \\ & y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t),x(t_0)=x_0\end{array}$$
其中：$A(t)、B(t)、C(t)、D(t)$分别为：$(n\times n)、(n\times p)、(q\times n)、(q\times p)$的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵；

状态方程的解：
$$x(t)=\Phi (t,t_0)x_0+{\int }_{t_0}^T\Phi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau$$
其中：$\Phi (t,t_0)$为系统的状态转移矩阵；

输出响应为：
$$y(t)=C(t)\Phi (t,t_0)x_0+C(t){\int }_{t_0}^T\Phi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau +D(t)u(t)$$
研究零输入方程的观测性：
$$\begin{array}{rl}& \dot{x}(t)=A(t)x(t),x(t_0)=x_0,t,t\in T_t\\ & \\ & y(t)=C(t)x(t)\end{array}$$

• 系统完全可观测：对于上式线性时变系统，如果取定初始时刻$t_0\in T_t$，存在一个有限时刻$t_1\in T_t,t_1>t_0$，对于所有$t\in [t_0,t_1]$，系统的输出$y(t)$能唯一确定状态向量的初值$x(t_0)$，则称系统在$[t_0,t_1]$内是完全可观测的，简称系统可观测；如果对于一切$t_1>t_0$系统都是可观测的，则称系统在$[t_0,\infty )$内完全可观测；
• 系统不可观测：对于上式线性时变系统，如果取定初始时刻$t_0\in T_t$，存在一个有限时刻$t_1\in T_t,t_1>t_0$，对于所有$t\in [t_0,t_1]$，系统的输出$y(t)$不能唯一确定所有状态的初值$x_i(t_0),i=1,2,\dots ,n$，即至少有一个状态的初值不能被$y(t)$确定，则称系统在时间区间$[t_0,t_1]$内是不完全可观测的，简称系统不可观测；

2.3 线性定常连续系统的可控性判据

线性定常连续系统的状态方程为：
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x_0,t\ge 0$$
其中：

• $x$为$n$维状态变量；
• $u$为$p$维输入向量；
• $A、B$分别为$n\times n$和$n\times p$常值矩阵；

格拉姆矩阵判据：线性定常连续系统上式完全可控的充分必要条件：存在时刻$t_1>0$，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异：
$$W(0,t_1)\triangleq {\int }_0^{t_1}{\mathrm{e}}^{-At}B{B}^T{\mathrm{e}}^{-A^{T}t}\mathrm{d}t$$
凯莱-哈密顿定理：设$n$阶矩阵$A$的特征多项式为：
$$f(\lambda )=|\lambda I-A|={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$$
则$A$满足其特征方程，即：
$$f(A)=A^n+a_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +a_{1}A+a_{0}I=0$$
推论$1$：矩阵$A$的$k(k\ge n)$次幂可表示为$A$的$n-1$阶多项式：
$$A^k=\sum _{m=0}^{n-1}{\alpha }_m{A}^m,k\ge n$$
推论$2$：矩阵指数${\mathrm{e}}^{At}$可表示为$A$的$n-1$阶多项式：
$${\mathrm{e}}^{At}=\sum _{m=0}^{n-1}{\alpha }_m(t)A^m$$
线性定常连续系统如下：
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x_0,t\ge 0$$
秩判据：线性定常系统完全可控的充分必要条件是：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]=n$$
其中：$n$为矩阵$A$的维数；$S=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]$称为系统的可控性判别阵；

实例分析：

$Example1：$ 桥式网络如下图所示，用可控性判据判断其可控性。

解：

该桥式网络微分方程为：
$$\begin{array}{rl}& i_L=i_1+i_2=i_3+i_4\\ & \\ & R_4{i}_4+u_c=R_3{i}_3\\ & \\ & R_1{i}_1+u_c=R_2{i}_2\\ & \\ & L\frac{\mathrm{d}{i}_L}{\mathrm{d}t}+R_1{i}_1+R_3{i}_3=u\end{array}$$
选取状态变量$x_1=i_L,x_2=u_c$，消去微分方程组的$i_1,i_2,i_3,i_4$，可得状态方程为：
$$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=-\frac{1}{L}\left(\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3{R}_4}{R_3+R_4}\right)x_1+\frac{1}{L}\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}-\frac{R_3}{R_3+R_4}\right)x_2+\frac{1}{L}u\\ & \\ & {\dot{x}}_2=\frac{1}{C}\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}-\frac{R_4}{R_3+R_4}\right)x_1-\frac{1}{C}\left(\frac{1}{R_1+R_2}-\frac{1}{R_3+R_4}\right)x_2\end{array}$$
可控性矩阵为：
$$S=\left[\begin{array}{cc}b& Ab\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{L}& -\frac{1}{L^2}\left(\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3{R}_4}{R_3+R_4}\right)\\ & \\ 0& -\frac{1}{LC}\left(\frac{R_4}{R_3+R_4}-\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)\end{array}\right]$$
当$\frac{R_4}{R_3+R_4}\ne \frac{R_2}{R_1+R_2}$时，$\mathrm{rank}S=2=n$，系统可控；

当电桥处于平衡状态时，即$R_1{R}_4=R_2{R}_3$时，$\frac{R_1}{R_1+R_2}=\frac{R_3}{R_3+R_4}$及$\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{R_4}{R_3+R_4}$成立，这时状态方程变为：
$$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=-\frac{1}{L}\left(\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3{R}_4}{R_3+R_4}\right)x_1+\frac{1}{L}u\\ & \\ & {\dot{x}}_2=-\frac{1}{C}\left(\frac{1}{R_1+R_2}-\frac{1}{R_3+R_4}\right)x_2\end{array}$$
可控性矩阵为：
$$S=\left[\begin{array}{cc}b& Ab\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{L}& -\frac{1}{L^2}\left(\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3{R}_4}{R_3+R_4}\right)\\ & \\ 0& 0\end{array}\right]$$
$\mathrm{rank}S=1<n$，系统不可控，$u$不能控制$x_2$，$x_2$是不可控状态变量；

实例分析：

$Example2：$ 已知$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]$，求$A^{100}$。

解：

$A$的特征多项式为：
$$f(\lambda )=|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ 0& \lambda -1\end{array}\right|={\lambda }^2-2\lambda +1$$
根据凯莱-哈密顿定理，有：
$$f(A)=A^2-2A+I=0$$

$$A^2=2A-I$$

故：
$$\begin{array}{rl}& A^3=A{A}^2=2A^2-A=2(2A-I)-A=3A-2I\\ & \\ & A^4=A{A}^3=3A^2-2A=3(2A-I)-2A=4A-3I\end{array}$$
根据数学归纳法，有：
$$A^k=kA-(k-1)I$$
可得：
$$A^{100}=100A-99I=\left[\begin{array}{cc}100& 200\\ 0& 100\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}99& 0\\ 0& 99\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 200\\ 0& 1\end{array}\right]$$
$\mathrm{PBH}$秩判据： 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件：对矩阵$A$的所有特征值${\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,n)$，有：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{i}I-A& B\end{array}\right]=n，(i=1,2,\cdots ,n)$$
均成立，或等价表示为：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}sI-A& B\end{array}\right]=n，(\forall s\in C)$$
实例分析：

$Example3：$ 已知线性定常连续系统状态方程为：
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 5& 0\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ -2& 0\end{array}\right]u,n=4$$
判别系统的可控性。

解：

根据状态方程写出：
$$\left[\begin{array}{cc}sI-A& B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}s& -1& 0& 0& 0& 1\\ 0& s& -1& 0& 1& 0\\ 0& 0& s& -1& 0& 1\\ 0& 0& -5& s& -2& 0\end{array}\right]$$
$A$的特征值为：${\lambda }_1={\lambda }_2=0,{\lambda }_3=\sqrt{5},{\lambda }_4=-\sqrt{5}$。

当$s={\lambda }_1={\lambda }_2=0$，有：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}sI-A& B\end{array}\right]=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& -5& 0& -2\end{array}\right]=4$$
当$s={\lambda }_3=\sqrt{5}$时，有：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}sI-A& B\end{array}\right]=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}\sqrt{5}& -1& 0& 0\\ 0& \sqrt{5}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -2& 0\end{array}\right]=4$$
当$s={\lambda }_4=-\sqrt{5}$时，有：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}sI-A& B\end{array}\right]=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}-\sqrt{5}& -1& 0& 0\\ 0& -\sqrt{5}& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -2& 0\end{array}\right]=4$$
因此，系统完全可控。

对角线规范型判据： 若线性定常连续系统矩阵$A$的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$两两相异，可知对角线规范型为：
$$\dot{\overline{x}}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\overline{x}+\overline{B}u$$
系统完全可控的充分必要条件是：$\overline{B}$不包含元素全为零的行。

实例说明： 已知线性定常连续系统的对角线规范型为：
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{\overline{x}}}_1\\ {\dot{\overline{x}}}_2\\ {\dot{\overline{x}}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\overline{x}}_1\\ {\overline{x}}_2\\ {\overline{x}}_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$$
由于此规范型中$\overline{B}$不包含元素全为零的行，故系统完全可控。

2.4 输出可控性

• 输出可控性：若在有限时间间隔$[t_0,t_1]$内，存在无约束分段连续控制函数$u(t),t\in [t_0,t_1]$，能使任意初始输出$y(t_0)$转移到任意最终输出$y(t_1)$，则称此系统输出完全可控，简称输出可控；

• 输出可控性判据： 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为：
  $$\begin{array}{rl}& \dot{x}=Ax+Bu,x(0)=x_0,t\in [0,t_1]\\ & \\ & y=Cx+Du\end{array}$$
  式中：$u$为$p$维输入向量，$y$为$q$维输出向量，$x$为$n$维状态向量；

  输出可控性矩阵为：
  $$S_0=\left[\begin{array}{ccccc}CB& CAB& \cdots & C{A}^{n-1}B& D\end{array}\right]$$
  其中：$S_0$为$q\times (n+1)p$矩阵；

  输出可控的充分必要条件是：输出可控性矩阵的秩等于输出向量的维数$q$，即：
  $$\mathrm{rank}{S}_0=q$$

• 实例分析：

  $Example4：$ 已知系统的状态方程和输出方程为：
  $$\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -2\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]u，y=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$$
  判断系统的状态可控性和输出可控性。

  解：

  系统的状态可控性矩阵为：
  $$S=\left[\begin{array}{cc}b& Ab\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$$
  $|S|=0，\mathrm{rank}S<2$，故状态不完全可控。

  输出可控性矩阵为：
  $$S_0=\left[\begin{array}{ccc}cb& cAb& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\end{array}\right]$$
  $\mathrm{rank}{S}_0=1=q$，故输出可控。

2.5 线性定常连续系统的可观测性判据

考虑输入$u=0$时系统的状态方程和输出方程：
$$\dot{x}=Ax,x(0)=x_0,t\ge 0,y=Cx$$
其中：

• $x$为$n$维状态向量；
• $y$为$q$维输出向量；
• $A、C$分别为$n\times n$和$q\times n$的常值矩阵；

格拉姆矩阵判据：线性定常系统完全可观测的充分必要条件：存在有限时刻$t_1>0$，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异：
$$M(0,t)\triangleq {\int }_0^{t_1}{\mathrm{e}}^{A^{T}t}{C}^{T}C{\mathrm{e}}^{At}\mathrm{d}t$$
秩判据：线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件：
$$\mathrm{rank}V=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]=n$$
或
$$\mathrm{rank}V=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{ccccc}{C}^T& A^T{C}^T& (A^T{)}^2{C}^T& \cdots & (A^T{)}^{n-1}{C}^T\end{array}\right]=n$$
上两式矩阵称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。

实例分析：

$Example5：$ 系统状态方程和输出方程如下，判断系统的可观测性。
$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx$$

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$$

解：
$$\mathrm{rank}V=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cc}{C}^T& A^T{C}^T\end{array}\right]=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 0\\ 0& 1& -1& 2\end{array}\right]=2=n$$
故系统可观测。

$\mathrm{PBH}$秩判据：线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件：对矩阵$A$的所有特征根${\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,n)$，均有：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{c}C\\ {\lambda }_{i}I-A\end{array}\right]=n,i=1,2,3,\cdots ,n$$
或等价表示为：
$$\mathrm{rank}\left[\begin{array}{c}C\\ sI-A\end{array}\right]=n；\forall s\in C$$
对角线规范型判据：线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件：当矩阵$A$的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$两两相异时，对角线规范型为：
$$\dot{\overline{x}}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]\overline{x},y=\overline{C}\overline{x}$$
式中，$\overline{C}$不包含元素全为零的列；

实例说明： 已知线性定常连续系统的对角线规范型为：
$$\dot{\overline{x}}=\left[\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\overline{x},y=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 3\end{array}\right]\overline{x}$$
此规范型中$\overline{C}$不包含元素全为零的列，故系统完全可观测.