math_高阶导数求导法则和公式

abstract

• 高阶导数求导法则
• 常用的初等函数的高阶导数
• 这部分内容为泰勒公式作铺垫,特别是幂型高阶导数

高阶导数

二阶导数

• 如果函数的导数$f^{\prime }(x)$在$x$处可导，则称$[f^{\prime }(x){]}^{\prime }$为$x$的二阶导数。记做：$f^{\prime \prime }(x)$，$y^{\prime \prime }$，$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$或$\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x)}{\mathrm{d}{x}^2}$
• 二阶导数可用于求解函数凹凸性问题。 $f^{\prime \prime }(x)>0$函数在x上凹。 $f^{\prime \prime }(x)<0$函数在x下凹。

高阶导数

• 二阶导数的导数称为三阶导数，记做$f^{\prime \prime \prime }(x)$，$y^{\prime \prime \prime }$，$\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^3}$或$\frac{{\mathrm{d}}^{3}f(x)}{\mathrm{d}{x}^3}$
• 三阶导数的导数称为四阶导数，记做$f^{(4)}(x)$，$y^{(4)}$，$\frac{{\mathrm{d}}^{4}y}{\mathrm{d}{x}^4}$或$\frac{{\mathrm{d}}^{4}f(x)}{\mathrm{d}{x}^4}$
• 一般的$f(x)$的$n-1$阶导数的导数称为$f(x)$的$n$阶导数，记为$f^{(n)}(x)$，$y^{(n)}$，$\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n}$或$\frac{{\mathrm{d}}^{n}f(x)}{\mathrm{d}{x}^n}$

高阶导数的求法

一般来说，高阶导数的计算和导数一样，可以按照定义逐步求出。同时，高阶导数也有求导法则：

• $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(u\pm v)=\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}u\pm \frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}v$

• $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(Cu)=C\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}u$

• $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(u\cdot v)={\sum }_{k=0}^n{C}_k^n\frac{{\mathrm{d}}^{n-k}}{\mathrm{d}{x}^{n-k}}u\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}v$（莱布尼兹公式）

常用高阶导数公式👺

1. $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{x}^{\alpha }=x^{\alpha -n}{\prod }_{k=0}^{n-1}(\alpha -k)$
2. $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\frac{1}{x}=(-1{)}^n\frac{n!}{x^{n+1}}$
3. $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\ln x=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$;$\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\ln (1+x)$=$(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n}$
4. $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{e}^x=e^x$
5. $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}{a}^x=a^x\cdot {\ln }^{n}a$ $(a>0)$
6. $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\sin \left(kx+b\right)=k^n\sin \left(kx+b+\frac{n\pi }{2}\right)$
7. $\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\cos \left(kx+b\right)=k^n\cos \left(kx+b+\frac{n\pi }{2}\right)$

函数和一次函数复合后的导数👺

• 根据复合函数求导法则,有$(f(ax+b){)}^{(n)}$=$a^n{f}^{(n)}(ax+b)$

• 这就是说,如果求得$f^{(n)}(x)$,则可以直接得到$(f(ax+b){)}^{(n)}$=$a^n{f}^{(n)}(ax+b)$

  • 如果一次式用$kx+b$表示,公式为$(f(kx+b){)}^{(n)}$=$k^n{f}^{(n)}(kx+b)$(1)

• $n$	$(f(ax+b){)}^{(n)}$
  0	$f(ax+b)$
  $1$	$f^{\prime }(ax+b)\cdot a$
  $2$	$f^{\prime \prime }(ax+b)\cdot a^2$
  $\cdots$	$\cdots$
  $n$	$f^{(n)}(ax+b)\cdot a^n$=$a^n{f}^{(n)}(ax+b)$

指数型

• $n$	$(a^x{)}^{(n)}$
  1	$a^x\ln a$
  2	$a^x{\ln }^{2}a$
  3	$$a^x{\ln }^{3}a$$
  $\cdots$	$\cdots$
  n	$a^x{\ln }^{n}a$

• 由公式(1),$(a^{kx}{)}^{(n)}$=$k^n{a}^{kx}{\ln }^{n}a$

• 当$a=e$时,$(e^x{)}^{(n)}$=$e^x$;$(e^{kx}{)}^{(n)}$=$k^n{e}^{kx}$

三角型

正弦型函数

• $f(x)=\sin (x)$
  • $(\sin x{)}^{\prime }$=$\cos x$=$\sin (x+\frac{\pi }{2})$(0)
• 对式(0)两边求导,得$(\sin x{)}^{\prime \prime }$=$\sin ((x+\frac{\pi }{2})+\frac{\pi }{2})$=$\sin (x+2\cdot \frac{\pi }{2})$
  • 类似的,$(\sin x{)}^{(3)}$=$\sin (x+2\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2})$=$\sin (x+3\cdot \frac{\pi }{2})$
  • $(\sin x{)}^{(n)}$=$\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

• 从表格第2列可以看出,第4次求导的时候已经回到初始函数$f(x)=\sin x$;
• 但第2列的结果形式上不同一,不便表表示,而采用第3列结果

推广

• 求$\sin (kx)$,$\sin (kx+b)$的高阶导数
• 方法1
  • 根据函数与一次函数复合导数公式以及$(\sin x{)}^{(n)}$=$\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$直接得到:
    • $(\sin ax{)}^{(n)}$=$a^n\sin (ax+n\frac{\pi }{2})$;
    • $(\sin ax+b{)}^{(n)}$=$a^n\sin (ax+b+n\frac{\pi }{2})$
• 方法2
  • 利用公式$\cos (\varphi (x))=\sin (\frac{\pi }{2}+\varphi (x))$,
  • 反复套用$\cos \varphi (x)=\sin (\varphi (x)+\frac{\pi }{2})$
  • $对于\varphi (x)=ax,si{n}^{\prime }(\varphi (x))$=$cos(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)$=$sin(\varphi (x)+\frac{\pi }{2})\cdot {\varphi }^{\prime }(x)$
    • $(\sin ax{)}^{\prime }$=$\sin (ax+\frac{\pi }{2})\cdot a$ =$a\sin (ax+\frac{\pi }{2})$(1)
    • $(\sin (ax+b){)}^{\prime }$=$\sin ((ax+b)+\frac{\pi }{2})\cdot a$ =$a\sin (ax+b+\frac{\pi }{2})$(1-1)
    • 式(1)两边求导:$(\sin ax{)}^{\prime \prime }$=$a^2\sin (ax+2\frac{\pi }{2})$
    • 持续两边求导操作:$(\sin ax{)}^{(n)}$=$a^n\sin (ax+n\frac{\pi }{2})$
  • 类似的,$(\sin ax+b{)}^{(n)}$=$a^n\sin (ax+b+n\frac{\pi }{2})$

余弦型函数

• 求$\cos x$的高阶导数时

  • $(\cos x{)}^{\prime }$=$-\sin x$=$\cos (x+\frac{\pi }{2})$

• 两边同时求导,$(\cos x{)}^{\prime \prime }$=$\cos ((x+\frac{\pi }{2})+\frac{\pi }{2})$=$\cos (x+2\cdot \frac{\pi }{2})$

  • $\cdots$
  • $(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$

• 类似的可以得到:$(\cos ax+b{)}^{(n)}$=$a^n\cos (ax+b+n\frac{\pi }{2})$

幂型👺

• $y=x^k$,$k$是任意常数$(k\in \mathbb{R})$,求$y^{(n)}$;类似的求$y_1=((x+a{)}^k{)}^{(n)}$

  • $n$	$(x^k{)}^{(n)}$	$((x+a{)}^k{)}^{(n)}$
    1	$k{x}^{k-1}$	$k{(x+a)}^{k-1}$
    2	$k(k-1)x^{k-2}$	$k(k-1)(x+a{)}^{k-2}$
    3	$k(k-1)(k-2)x^{k-3}$	$k(k-1)(k-2)(x+a{)}^{k-3}$
    $⋮$	$⋮$	$⋮$
    $n$	$k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)x^{k-n}$	$k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)(x+a{)}^{k-n}$

  • $y_1^{(n)}$,即$((x+a{)}^k{)}^{(n)}$=$k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)(x+a{)}^{k-n}$

    • $k\in {\mathbb{N}}_{+}$,有结论
      • 若$k=n\in {\mathbb{N}}_{+}$,则$((x+a{)}^n{)}^{(n)}=n!$;
      • 若$k<n$:$((x+a{)}^k{)}^{(n)}=0$ 即$((x+a{)}^k{)}^{(k+n)}=0$,$(n=1,2,\cdots )$
    • $k\notin \mathbb{N}$,则无此结论
      • 例如$y=(x+2{)}^{2.1}$,$y^{\prime }=2.1(x+2{)}^{1.1}$;$y^{\prime \prime }=2.1\times 1.1\times {(x+2)}^{0.1}$,$y^{(3)}$=$2.1\times 1.1\times 0.1\times {(x+2)}^{-0.9}$

  • 对于$y^{(n)}$(即$y_1^{(n)},a=0$):

    • 若$k\in {\mathbb{N}}_{+}$,且$k⩾n$,$(x^k{)}^{(n)}$=$[{\prod }_{i=1}^n(k-i+1)]x^{k-n}$=$A_k^n{x}^{k-n}$=$\frac{k!}{(k-n)!}{x}^{k-n}$
    • 若$n=k\in {\mathbb{N}}_{+}$,则$(x^k{)}^{(k)}=k!$;或$(x^n{)}^{(n)}=n!$
    • 若$k,n\in {\mathbb{N}}_{+},k<n$:$(x^k{)}^{(n)}=0$ 即$(x^k{)}^{(k+n)}=0$,$(n=1,2,\cdots )$

  • 对于$y_1^{(n)},a=1$的时候,即$((x+1{)}^k{)}^{(n)}$=$k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)(x+1{)}^{k-n}$

    • 若$k=n\in {\mathbb{N}}_{+}$,则$((x+1{)}^n{)}^{(n)}=n!$;
    • 若$k,n\in {\mathbb{N}}_{+},k$:$((x+1{)}^k{)}^{(n)}=0$ 即$((x+1{)}^k{)}^{(k+n)}=0$,$(n=1,2,\cdots )$

• $(\frac{1}{x}{)}^{(n)}$=$(-1{)}^{n}n!x^{-(n+1)}$

  • $\frac{1}{x}=x^{-1}$

  • $n$	导数
    1	$-1x^{-2}$
    2	$(-1)(-2)x^{-3}$
    3	$(-1)(-2)(-3)x^{-4}$
    …	…
    n	$(-1)(-2)(-3)\cdots (-n)x^{-(n+1)}$=$(-1{)}^{n}n!x^{-(n+1)}$

$P_i的k阶导数$

• $P_i(x)=a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k(x-x_0{)}^k$

• 对于i阶逼近函数P_i,对其求k阶导数;
  $P_i^{(k)}(x_0)=0+\sum 0+a_{k}k!+\sum 0=a_{k}k!$

• 根据约束条件$f^{(k)}(x_0)$

• 从而得到$a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$

• $$\alpha =n的时候,f^{(n)}(x)=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!}=n!$$

自然对数型

• $y=\ln (1+x)$,求$y^{(n)}$

  • 阶数$n$	$(\ln x{)}^{(n)}$	$(\ln (1+x){)}^{(n)}$
    1	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{1+x}$
    2	$-\frac{1}{x^2}$	$-\frac{1}{(1+x{)}^2}$
    3	$-(-\frac{1}{x^4})2x$=$\frac{1\times 2}{x^3}$	$-(-\frac{1}{(1+x{)}^4}\cdot 2(1+x)\cdot 1)$=$\frac{1\cdot 2}{(1+x{)}^3}$
    4	$-1\times 2\times 3\frac{1}{x^4}$	$-\frac{1\cdot 2\cdot 3}{(1+x{)}^4}$
    $⋮$	$⋮$	$⋮$
    $n$	$(\frac{1}{x}{)}^{(n-1)}$=$(-1{)}^{n-1}(n-1)!x^{-n}$	$(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n}$