基于Eigen求解线性方程组Ax=b的性能分析

目录

1. 稠密矩阵求解

2. 稀疏矩阵求解

总结

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在上一篇博客中，我们介绍了三维人脸参数化方法，链接：三维人脸参数化方法。在该算法中，涉及到求解线性方程AX=b的问题。这里的A为针对网格的拉普拉斯权重矩阵，规模是比较大的，尺度为N*N，N为网格点数。对于人脸数据，动则10000以上的点数，为线性方程求解带来挑战。Eigen提供了一系列的求解线性方程的解法，本博客就基于人脸参数化方法，对比下这些解法的性能特点，以帮助需要深入了解求解大规模线性方程的同学，选择合适的计算工具。

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1. 稠密矩阵求解

在Eigen中，对于稠密矩阵求解，包含在Eigen/Dense，有如下工具：

可以看到，上述线性系统求解包括LU分解，SVD分解，QR分解等。在参数化任务中，上述方法的实际表现如下（测试用人脸子曲面顶点数为3837）：

参数化方法结果：

可以看到LLT和LDLT的计算结果存在严重的误差，使得参数化后点的位置出现了极大的偏移。FullPivLU和HouseholderQR两个方法输出了正确的结果，但是时间开销过大。JacobiSVD对于大规模矩阵求解，时间开销过大，且在计算过程中崩溃。

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2. 稀疏矩阵求解

可以看到，使用稠密矩阵求解，整体计算效率较低，且精度没有保障。究其原因，在参数化问题中，矩阵A不是稠密的，而是包含大量0元素的稀疏矩阵。因此，使用稀疏矩阵求解工具，比较适合解决曲面参数化中，邻接矩阵的线性求解问题。对于稀疏矩阵求解，包含在Eigen/Sparse，有如下工具：

对于上述方法，对应的计算时间为：

参数化结果比较：

可以看到，基于稀疏矩阵设计的求解器，在速度上远远优于前者，同时保持计算精度。

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总结

针对线性求解问题矩阵数据分布的特性，选择合适的求解器至关重要。求解器从大类来说，可分为稠密矩阵求解和稀疏矩阵求解；从小类来说，包括LU分解，QR分解，SVD分解等。从对算法精度与效率的要求，各个求解器的表现差异不容忽视。因此，对于不同的线性求解问题，要选择与之匹配的求解方法。