从线代角度图解：通解、特解、非齐次通解、非齐次特解、齐次通解、齐次特解

从线代角度图解：通解、特解、非齐次通解、非齐次特解、齐次通解、齐次特解

声明：本文为笔者读完《Introduction to Linear Algebra》后对此内容的个人理解，如有误，请各位在评论区予以纠正！

明确齐次非齐次的概念
对于齐次非齐次的理解摘抄自：什么是线性、非线性、齐次、非齐次

首先求解一个方程组


解完本例会对上图进行图解

本例方程组的增广矩阵形式

Particular Solution ($x_p$)
$$R\mathbf{x}=\mathbf{d}$$
[ 1 0 3 0 1 − 2 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 2 1 ]

= [10​01​3−2​]⎣ ⎡​x1​x2​x3​​⎦ ⎤​=[21​]

[ 1 0 3 0 1 − 2 ] [ 2 1 0 ] = [ 2 1 ]

= [10​01​3−2​]⎣ ⎡​210​⎦ ⎤​=[21​]

x p = [ 2 1 0 ] \boldsymbol{x}_p=

xp​=⎣ ⎡​210​⎦ ⎤​
非齐次方程组对应两平面交线上的某个点为方程组的某个Particular Solution

Special Solution（$x_{nullspace}$）
$$R\mathbf{x}=0$$
[ 1 0 3 0 1 − 2 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 0 ]

= [10​01​3−2​]⎣ ⎡​x1​x2​x3​​⎦ ⎤​=[00​]

{ x 1 + 3 x 3 = 0 x 2 − 2 x 3 = 0

{x1​+3x3​=0x2​−2x3​=0​

将主元变量写到等号左侧，自由变量写到等号右侧
$$\begin{gathered} x_1=-3x_3 \\ {x}_2=2x_3 \end{gathered}$$

[ x 1 x 2 x 3 ] = x 3 [ − 3 2 1 ]   x n = x 3 [ − 3 2 1 ]

=x_3\\ ~\\ \boldsymbol{x}_n=x_3 ⎣ ⎡​x1​x2​x3​​⎦ ⎤​=x3​⎣ ⎡​−321​⎦ ⎤​ xn​=x3​⎣ ⎡​−321​⎦ ⎤​
齐次方程组对应两平面交线上某个点为某个Special Solution

综合以上：

通过线性组合$x_p$（Particular Solution）和$x_n$（Special Solution）的线性组合得到Complete Solution（即下图黑线上的所有点）

接下来我们借由此例来图解：通解、特解、非齐次通解、非齐次特解、齐次通解、齐次特解之间的关系

为了便于读者理解，首先明确通解是方程组对应平面交线上所有点，特解是这些点中的其中一个点
线性组合时，从向量角度便于理解，以原点为向量起点，这些交线上的点为向量终点

非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
蓝色向量与紫色向量线性组合得到终点在黑线上的所有向量，这些向量的终点为黑线上所有点即对于非齐次通解

齐次通解 = 任意常数×齐次特解
通过对蓝色向量的缩放可以得到红线上所有点

齐次特解 = 齐次特解 - 齐次特解
白色向量 = 蓝色向量 - 黑色向量

因0一定是齐次方程的解，所以当两个齐次特解之间的系数和为0时就构成了齐次方程的一个特解
若
$$y=a{y}_1^{\ast }-b{y}_2^{\ast }$$
为齐次方程的特解，则满足$a-b=0$

非齐次特解 = 非齐次特解 + 确定常数×齐次特解
橙色向量 = 紫色向量 + 对蓝色向量进行某一个固定缩放得到的向量

齐次特解 = 非齐次特解 - 非齐次特解
粉色向量 = 绿色向量 $-$ 紫色向量
齐次特解（蓝色向量与粉色向量平行，模长相等）
非齐次的两个特解为黑线上两个点

为什么非齐次特解之间系数和需要为1时才能得到另一个非齐次特解？
当特解1（对应白色向量）、特解2（对应紫色向量）系数和不为1时，合成的向量（绿色向量）其终点不在非齐次解的那条直线上，也就无法构成非齐次特解

为什么非齐次特解之间系数和需要为1时才能得到另一个非齐次特解？
非奇特 = $c_1$非奇特 + $c_2$非奇特 （其中$c_1+c_2=1$）
当特解1（对应白色向量）、特解2（对应紫色向量）系数和为1时，合成的向量（粉色向量）其终点就在非齐次解的那条直线上，也就构成了非齐次特解
若
$$y=a{y}_1^{\ast }+b{y}_2^{\ast }$$
为非齐次方程的特解，则满足$a+b=1$
系数和为1意味着每个系数都小于1，即对两个非齐次特解对应的向量进行缩小，这样才能使合成的向量其终点最终在非齐次解的那条线上