埃及分数 ← IDA*

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P1763
https://www.acwing.com/problem/content/description/1122/

【题目描述】
在古埃及，人们使用单位分数的和（形如 1/a 的，a 是自然数）表示一切有理数。
如：2/3=1/2+1/6，但不允许 2/3=1/3+1/3，因为加数中有相同的。
对于一个分数 a/b，表示方法有很多种，但是哪种最好呢？
首先，加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。如：
19/45=1/3+1/12+1/180。
19/45=1/3+1/15+1/45。
19/45=1/3+1/18+1/30。
19/45=1/4+1/6+1/180。
19/45=1/5+1/6+1/18。
最好的是最后一种，因为 1/18 比 1/180，1/45，1/30，1/180 都大。
注意，可能有多个最优解。如：
59/211=1/4+1/36+1/633+1/3798。
59/211=1/6+1/9+1/633+1/3798。
由于上文针对 59/211 的两种表示中，最小的分数 1/3798 相同，故两种表示均是最优解。
现在给出一个分数 a/b 中的 a，b，请编程计算最好的表达方式。保证最优解满足：最小的分数 ≥1/10000000

【输入格式】
一行两个整数，分别为 a 和 b 的值。

【输出格式】
输出若干个数，自小到大排列，依次是单位分数的分母。

【数据范围】
0
【算法分析】
IDA* 算法简述为：IDA*=IDDFS+估价函数

其中，IDDFS 是 Iterative Deepening DFS 的缩写，意思是迭代加深搜索。由名字易知，IDDFS 是一种 DFS。IDDFS，作为对普通 DFS 算法的改进，一般用来求解“状态树深，目标态浅”的问题。其算法思路为：首先设定搜索深度 maxd=1，然后利用 DFS 在状态树的 maxd=1 深度之内进行搜索。如果没有找到解，就以搜索深度 maxd=2 进行搜索，……，直到成功找到解为止。

估价函数 h() 的作用是预测从当前深度至少经过多少步才能到达目标状态。
假设当前在第cur 层，则当 cur+h(cur)>maxd 时候，就说明不论怎么走，都不可能在 maxd 的限制之内找到目标状态，此时就可以进行“剪枝”操作。IDA* 算法，本质上就是引入估价函数 h() 的 IDDFS 。

埃及分数问题，作为 IDA* 算法的一个经典应用，其思路为：针对待分解的分数 a/b，若扩展到 i 层时，前 i 个分数之和为 c/d，第 i 层分数为 1/e，那么根据“分数分母是以递增顺序出现”的规则，可知接下来出现的分数都不会大于 1/e。据此可知，如果搜索深度 maxd 不够，即存在条件 c/d+1/e*(maxd-i)，就可以直接break，相当于借助 maxd 实现“剪枝”。

【算法代码】

#include 
using namespace std;
 
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
const int maxn=1005;
 
LL maxd;
LL ans;
bool flag;
LL tfm[maxn]; //Temporarily save denominator in the search process
LL ofm[maxn]; //Save the denominator of the optimal solution
 
void dfs(LL dep,LL fz,LL fm,LL pre) { //pre: previous denominator
	if(dep==maxd+1) {
		if(fz==0) {
			flag=true;
			if(tfm[maxd]
				for(LL i=1; i<=maxd; i++) ofm[i]=tfm[i];
				ans=tfm[maxd];
			}
		}
		return;
	}
 
	if(fm*(maxd+1-dep)/fz>ans||tfm[dep]>ans) return; //Pruning operation
 
	for(LL i=max(pre,fm/fz); i<=fm*(maxd+1-dep)/fz; i++) {
		tfm[dep]=i;
		dfs(dep+1,fz*i-fm,fm*i,i+1);
	}
}
 
int main() {
	LL a,b;
	cin>>a>>b;
 
	maxd=1;
	while(maxd) {
		ofm[maxd]=inf;
		ans=inf;
		dfs(1,a,b,1);
		if(flag) break;
		maxd++;
	}
 
	for(LL i=1; i
		cout<" ";
	}
	cout<
 
	return 0;
}
 
 
/*
in:19 45
out:5 6 18
*/

【参考文献】
https://www.cnblogs.com/hualian/p/11162756.html
https://blog.csdn.net/Wizzy_Ang/article/details/122918847
https://blog.csdn.net/TK_wang_/article/details/108168835
http://poj.org/problem?id=3134
https://blog.csdn.net/u014800748/article/details/47376435
http://t.zoukankan.com/lyxzhz-p-12187687.html
https://blog.csdn.net/yangkunpengD/article/details/52841843
https://blog.csdn.net/weixin_43501684/article/details/100858305
https://www.acwing.com/solution/content/21686/
https://blog.csdn.net/qq_36314344/article/details/98754445