自动控制原理3.2---一阶系统的时域分析

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.一阶系统的数学模型

• 一阶控制系统运动微分方程：
  $$T\dot{c}(t)+c(t)=r(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$

  • $c(t)$：电路输出电压；
  • $r(t)$：电路输入电压；
  • $T=RC$：时间常数；

• 初始条件为零时，传递函数：
  $$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1}\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.一阶系统的单位阶跃响应

设一阶系统输入信号为单位阶跃函数$r(t)=1(t)$，由式(2)，可得一阶系统的单位阶跃响应为：
$$c(t)=1-e^{-t/T},t\ge 0\text{\hspace{1em}(3)}$$

• 可用时间常数$T$度量系统输出量的数值。

  $t=T$时，$c(t)=0.632$；$t=2T$时，$c(t)=0.865$；$t=3T$时，$c(t)=0.950$；$t=4T$时，$c(t)=0.982$；

• 响应曲线的斜率初始值为$1/T$，并随时间的推移而下降。
  $${\frac{\mathrm{dc}(\mathrm{t})}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}=\frac{1}{T}，{\frac{\mathrm{dc}(\mathrm{t})}{\mathrm{d}t}|}_{t=T}=0.368\frac{1}{T}，{\frac{\mathrm{dc}(\mathrm{t})}{\mathrm{d}t}|}_{t=\infty }=0$$

• 一阶系统的动态性能指标。
  $$t_r=2.20T，t_s=3T(\Delta =5\%)或t_s=4T(\Delta =2\%)$$

• 时间常数$T$反映系统的惯性，一阶系统惯性越小，响应过程越快；惯性越大，响应过程越慢。

3.一阶系统的单位脉冲响应

设输入信号为理想单位脉冲函数时，由式(2)可得输出响应表达式：
$$c(t)=\frac{1}{T}{e}^{-t/T},t\ge 0\text{\hspace{1em}(4)}$$

• 若定义该指数曲线衰减到初始值的$5\%$或$2\%$所需的时间为脉冲响应调节时间，则有$t_s=3T$或$t_s=4T$；

4.一阶系统的单位斜坡响应

设系统输入信号为单位斜坡函数，有式(2)可得，一阶系统单位斜坡响应为：
$$c(t)=(t-T)+T{e}^{-t/T},t\ge 0\text{\hspace{1em}(5)}$$

• $(t-T)：稳态分量；$Te^{-t/T}$：瞬态分量；

由式(5)可得：

• 一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间滞后T的斜坡函数，在位置上存在稳态跟踪误差，其值等于时间常数$T$；
• 一阶系统单位斜坡响应的瞬态分量为衰减非周期函数；
  
• 在阶跃响应曲线中，输出量和输入量之间的位置误差随时间而减小，最后趋于零，在初始状态下，位置误差最大，响应曲线初始斜率最大；
• 在斜坡响应曲线中，输出量和输入量之间的位置误差随时间而增大，最后趋于常值$T$，惯性越小，跟踪准确度越高，在初始状态下，初始位置和初始斜率均为零；

5.一阶系统的单位加速度响应

设系统的输入信号为单位加速度函数，由式(2)可得，一阶系统的单位加速度响应：
$$c(t)=\frac{1}{2}{t}^2-Tt+T^2(1-e^{-t/T}),t\ge 0\text{\hspace{1em}(6)}$$
系统跟踪误差：
$$e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T^2(1-e^{-t/T}),t\ge 0\text{\hspace{1em}(7)}$$

• 跟踪误差随时间推移而增大，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪；

一阶系统对典型输入信号的输出响应：

等价关系：

• 系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数；
• 系统对输入信号积分的响应，等于系统对输入信号响应的积分，积分常数由零输入初始条件确定；