数理方程

数学物理方程是研究物理、力学、工程技术及其他自然科学时，经一些简化得到的一些偏微分方程，反映客观世界物理量之间关系。这些偏微分方程研究物理量在空间的分布规律和在时间的变化规律。

课程内容：3方程(波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程)，4方法(分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法)，2特殊函数(贝塞尔函数、勒让德多项式)

1典型方程&定解条件推导

1.1基本方程建立

• 常微分方程：未知函数仅有1自变量，一元函数构成 $y^{\prime }(x)=x$
• 偏微分方程：未知函数有>2个自变量，多元函数构成
  • 一维波方程
    $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}x}{\partial x^2}$$
  • 一维热方程
    $$\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{{\partial }^{2}x}{\partial x^2}$$
  • Laplace方程
    $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0\to \Delta u=0$$

1.1.1波方程

• 波动方程：$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=a^2(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2})$ 琴弦振动；杆、膜、液体、气体振动；电磁场震荡

弦振动

条件

• 均匀柔软细弦做微小横向运动
• $\rho$:弦线密度只受重力G、张力T作用
• $u(x,t)$:t时刻点x位移

无外力受力分析

1. x向:$T\cos \alpha -T^{\prime }\cos {\alpha }^{\prime }=0\rightarrowtail 近似T\approx T^{\prime }$
2. 位移方向:$-T\sin \alpha +T^{\prime }\sin {\alpha }^{\prime }-G=ma,G=\rho gds$
3. $\sin \alpha \approx \tan \alpha =\frac{\partial u(x,t)}{\partial x},\sin {\alpha }^{\prime }\approx \frac{\partial u(x+dx,t)}{\partial x}$
4. 弧长微分:$ds=\sqrt{1+(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}{)}^2}dx\approx dx$
5. 微分中值定理:$f(a)-f(b)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$
6. 代入2. ,去掉g, $\sqrt{\frac{T}{\rho }}=a$ 得一维标准波方程 $\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}$齐次方程
7. 有外力作用,多f(x,t)自由项 $\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}+f(x,t)$ 非齐次方程

膜振动

• 边界固定的均匀薄膜，在平衡位置附近做微小横向振动，无重力外力，膜上每点张力-常数
• $u(x,y,t)$:t时刻$M(x,y)$位移
  

1. x轴张力对膜作用力$(T\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x+\Delta x}-T\frac{\partial u}{\partial x}{|}_x)\Delta y$, y轴$(T\frac{\partial u}{\partial y}{|}_{y+\Delta y}-T\frac{\partial u}{\partial y}{|}_y)\Delta x$ 相加$=ma$
2. 微分中值定理
   $T{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}}_{x=x+\theta \Delta x}\Delta x\Delta y+T{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}}_{y=y+\theta \Delta y}\Delta y\Delta x=\Delta x\Delta y\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$
3. $\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$ 取极限,$a=\sqrt{\frac{T}{\rho }}$ 得
   $\frac{{\partial }^{2}u(x,y,t)}{\partial t^2}=a^2(\frac{{\partial }^{2}u(x,y,t)}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u(x,y,t)}{\partial y^2})$

1.1.2热方程

• 热传导方程：$\frac{\partial u}{\partial t}=a^2(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2})$ 热传导中温度分布；流体扩散、粘性液体流动
• 导热体:比热$C$, 热传导系数$k$, 密度$\rho$为常数
• 
• $u(x,y,z,t)$表示t时刻$M(x,y,z)$点温度,$dS$曲面微分, $n$为法向量指向外部; 取一包含$M$点的封闭曲面$S$, 研究温度$u$规律

1. 傅里叶热力学定律:一段时间$dt$内,通过一块秒安吉$dS$的热量$dQ$正比于$dt,dS,\frac{\partial u}{\partial n}$,-流出
   1. $dQ=-k\frac{\partial u}{\partial n}dSdt$
      傅里叶热力学定律
   2. $t_1\to t_2$通过曲面$S$流入区域$V$的全部热量
   3. $Q={\int }_{t_1}^{t_2}\underset{S}{\iint }k\frac{\partial u}{\partial n}dSdt$
2. 热量流入$V$,$[t_1,t_2]$内温度变化$u_1\to u_2$需要热量
   $Q=\underset{V}{\iiint }c\rho [u(x,y,z,t_2)-u(x,y,z,t_1)]dV$
3. 方向导数$\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial u}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}\cos \gamma$
   高斯公式$\underset{\Omega }{\iiint }[\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}]dV=\underset{\partial \Omega }{\iint }Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$
   联立$\underset{S}{\iint }\frac{\partial u}{\partial n}dS=\underset{\Omega }{\iiint }\Delta udV$
4. 联立,$a=\sqrt{\frac{k}{c\rho }}$ 得三位热传导方程 $\frac{\partial u}{\partial t}=a^2(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2})$齐次
5. 有热源 $\frac{\partial u}{\partial t}=a^2(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2})+f(x,y,z,t)$非齐次
6. 薄片导热体-二维热方程 $\frac{\partial u}{\partial t}=a^2(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2})$
7. 细杆热导体-一维热方程 $\frac{\partial u}{\partial t}=a^2(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2})$
8. 恒稳温度场,各点温度不随时间改变->Laplace方程

• 拉普拉斯方程：$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$或$\Delta u=0$ 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布

1.2定解条件推导

1.2.1初始条件

1. 波方程
   初位移$u(x,t){|}_{t=0}=\varphi (x)$
   初速度$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}{|}_{t=0}=\Psi (x)$
2. 热方程
   开始时刻物体内各点温度分布$u(M,t){|}_{t=0}=f(M)$
3. Laplace方程
   稳恒状态,时间无关,无初始条件

1.2.2边界条件

1. 波方程

   1. 给出未知函数$u(x,t)$在端点$x=a$的情况
      1. $x=a$为固定端,$u(x,t){|}_{x=a}=0$
      2. $x=a$作简谐振动$A\sin \omega t$,则 $u(x,t){|}_{x=a}=A\sin \omega t$
   2. 给出未知函数$u(x,t)$在端点$x=a$的导数的情况
      1. 端点处受一个位移方向外力 $v(t)$ 作用 $\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}{|}_{x=a}=v_1(t),v_1(t)=\frac{v(t)}{T}$
      2. $v(t)=0$, 端点不受位移方向外力,自由端 $\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}{|}_{x=a}=0$
   3. 组合情况
      1. 端点a处受弹性体支撑,胡克定律$F=-k\dot{\Delta }x$ : $[\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}+\sigma u(x,t)]{|}_{x=a}=0,\sigma =\frac{k}{T}$

2. 热传导问题

   1. 端点情况:直接给出$u$在边界$S$的值$f$, 边界条件$ u|_S=f$
   2. 导数情况:导热体$V$与周围介质无热量交换,边界$S$热量流速=0
      1. 傅里叶热力学定律 热量流速$\frac{dQ}{dSdt}=-k\frac{\partial u}{\partial n}$
      2. 边界条件:$\frac{\partial u}{\partial n}{|}_S=0$
   3. 组合情况:导热体$V$与周围介质$S$有热量交换, $u_1$介质温度
      1. 热学定律$dQ=k_1(u-u_1)dSdt$, 联立傅里叶热力学定律
      2. 边界条件:$(\frac{\partial u}{\partial n}+\sigma u){|}_S=\sigma u_1{|}_S,\sigma =\frac{k_1}{k}$

3. 边界条件分类

   1. 第1类边界条件:直接给出$u$在$S$值$u{|}_S=f$
      1. 齐次条件$f=0$,非齐次条件$f\ne 0$
   2. 第2类边界条件:沿$S$外法线导数$\frac{\partial u}{\partial n}{|}_S=f$
   3. 第3类边界条件:组合$(\frac{\partial u}{\partial n}+\sigma u){|}_S=f$

1.3定解问题

方程+定解条件=定解问题

1.3.1定解问题提法

1. 始值问题:方程+初始条件
   1. 一维无界波动问题:(方程),$-\infty <x<\infty$
   2. 只有初始条件$u{|}_{t=0}=?,\frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=?$
2. 边值问题:方程+边界条件
   1. Laplace方程(方程)无时间
   2. 边界条件$u(x,y,z){|}_{\partial \Omega }=f$
3. 混合问题:方程+边界条件+初始条件
   1. 有界状态一维热方程:(方程)$0<x<l,t>0$
   2. 边界条件$u{|}_{x=0}=t^2,u(x,t)|x=l=t$
   3. 初始条件$u{|}_{t=0}=\varphi (x)$

1.3.2定解问题解法

• 解的存在性
• 解的唯一性
• 解的稳定性
• 解法:分离变量法,行波法,积分变换法,格林函数法

题目

1. 一均匀杆，长为$l$，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长$e$而静止，突然放手任其振动，试写出定解问题.
   
2. 一均匀杆，长为$l$，一端固定，另一端沿杆的轴线方向受压，杆缩短为
   $l(l-2\epsilon )$ 突然放手任其振动，试写出定解问题.