阅读这篇前推荐优先阅读高数中的高斯公式。
该篇参考《电动力学》郭硕洪第三版第一章第二节。
通过闭合曲面
S
S
S的电场强度
E
⃗
\vec{E}
E的通量定义为面积分：
∮
s
E
⃗
⋅
d
S
⃗
(1)
\oint_{s}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} \tag{1}
∮sE⋅dS(1)
由库仑定律可以推出 关于电场强度通量的高斯定理：
∮
s
E
⃗
⋅
d
S
⃗
=
Q
ϵ
0
(2)
\oint_{s}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{\textbf{Q}}{\epsilon_0} \tag{2}
∮sE⋅dS=ϵ0Q(2)
其中
Q
=
∑
i
Q
i
\textbf{Q}=\sum_i Q_i
Q=∑iQi，表示闭合曲面
S
S
S所围成的区域内的所有电荷量。
因此进一步我们可以将等式
(
2
)
\left(2\right)
(2)写为：
∮
s
E
⃗
⋅
d
S
⃗
=
1
ϵ
0
∑
i
Q
i
(3)
\oint_{s}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\sum_i Q_i \tag{3}
∮sE⋅dS=ϵ01i∑Qi(3)
不知道有没有小伙伴会和我有同样的疑问，为什么这个公式会被称为电场强度通量的高斯定理呢？接下来我们来说明一下这个问题。
因为等式 ( 2 ) \left(2\right) (2)推导时的右侧部分是通过体积分得到的，对应于数学上的高斯定理，就是将面积分与体积分联系起来的公式，因此这里我们说 ( 2 ) \left(2\right) (2)表示的时电磁场强度通量的高斯定理。
进一步，如果我们将等式
(
3
)
\left(3\right)
(3)的右侧电荷替换为积分形式，那么我们可以电场高斯定理的积分形式。
∮
s
E
⃗
⋅
d
S
⃗
=
1
ϵ
0
∭
v
ρ
d
V
(4)
\oint_{s}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\iiint_v \rho \mathrm{d}V \tag{4}
∮sE⋅dS=ϵ01∭vρdV(4)
如果我们使用数学上的高斯定理，那么我们可以将等式
(
4
)
\left(4\right)
(4)的左侧替换为：
∮
s
E
⃗
⋅
d
S
⃗
=
∭
v
∇
⋅
E
⃗
d
V
(5)
\oint_{s}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}= \iiint_v \nabla \cdot \vec{E} \mathrm{d}V \tag{5}
∮sE⋅dS=∭v∇⋅EdV(5)
结合等式
(
4
)
\left(4\right)
(4)与等式
(
5
)
\left(5\right)
(5)，我们可以得到电场高斯定理的微分形式：
1
ϵ
0
∭
v
ρ
d
V
=
∭
v
∇
⋅
E
⃗
d
V
(6)
\frac{1}{\epsilon_0}\iiint_v \rho \mathrm{d}V= \iiint_v \nabla \cdot \vec{E} \mathrm{d}V \tag{6}
ϵ01∭vρdV=∭v∇⋅EdV(6)
∇
⋅
E
⃗
=
ρ
ϵ
0
(7)
\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \tag{7}
∇⋅E=ϵ0ρ(7)
等式
(
7
)
\left(7\right)
(7)即为电场高斯定理的微分形式。
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