E题: Longest Increasing Subsequence

原题链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33194/E

题目大意

给定整数 $m(1\le m\le 10^9)$ ，构造一个长度不超过 $100$ 的排列 $p$ ，使得 $p$ 中恰好有 $m$ 个最长递增子序列。

如果存在，则输出任意方案即可。否则输出"-1"。

题解

将 $m$ 进行二进制拆分。
若 $m$ 的最高位为 $2^M$ ，则预构造一个序列如下:
$$2,1,4,3,...,2\times M,2\times M-1$$

这个序列有 $2^M$ 个长为 $M$ 的 $LIS$ 。
然后考虑 $m$ 的剩下位。若 $m$ 包含 $2^k$ ，则在 $2\times k-1$ (第 $2k$ 个位置)后插入 $M-k$ 个未出现的递增的数字，恰好增加 $2^k$ 个长为 $M$ 的 $LIS$ 。
从大到小枚举 $k$ 进行插入，可以构造得到一个排列恰好有 $m$ 个 $LIS$ 。

参考下例 $m=27=[11011{]}_2$ 。
预构造:$2,1,4,3,6,5,8,7$
处理 $2^3$ 后:$2,1,4,3,6,5,$9$,8,7$
处理 $2^1$ 后:$2,1,$10,11,12$,4,3,6,5,9,8,7$
处理 $2^0$ 后:13,14,15,16$,2,1,10,11,12,4,3,6,5,9,8,7$

但是这种策略构造得到的排列长度最坏为 $\lfloor lo{g}^{2}n\rfloor$ ，不一定合法。
不难发现，在越前面的位置插入的数字越多，不妨共用后面的数字，则插入最多 $\lfloor logn\rfloor$ 个数字，总长度最坏为 $\lfloor 3logn\rfloor <100$ 。

仍以 $m=27=[11011{]}_2$ 为例。
预构造:$2,1,4,3,6,5,8,7$
最终结果:9$,2,1,$10,11$,4,3,6,5,$12$,8,7$

不存在无解的情况。
实际插入时可以用 $std::vector$ 的 $insert$ 操作，单次复杂度 $O(n)$ ，但是在本题够用而且很方便。

参考代码

#include
using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x){
	char c,last=' ';
	while(!isdigit(c=getchar()))last=c;
	x=c^48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
	if(last=='-')x=-x;
}

const int MAXN=1e2+5;
int m;
int n;
int a[MAXN];

int main()
{
	int T;read(T);
	while(T--){
		read(m);
		if(m==1){
			puts("1\n1");
			continue;
		}
		int M=0;
		while(1<<M<=m)++M;
		--M;
		vector<int>v;
		for(int i=1;i<=M;++i){
			v.push_back(2*i);
			v.push_back(2*i-1);
		}
		for(int i=M-1,cnt=0;i>=0;--i){
			if(m>>i&1){
				while(cnt<M-i)v.insert(v.begin()+2*i,0),++cnt;//先标记插入位
			}
		}
		for(int i=0,c=2*M;i<(int)v.size();++i){
			if(v[i]==0)v[i]=++c;//从前往后递增赋值
		}
		cout<<(int)v.size()<<'\n';
		for(int i=0;i<(int)v.size();++i)cout<<v[i]<<" \n"[i+1==(int)v.size()];
	}
	return 0;
}
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