线性代数复习CH1：行列式

note：本复习资料是用于保研的数学类科目学习，很基础的一些定义性质没有列出，强烈推荐山大线代慕课秦静教授主讲，考试和保研复习都够用了。

1.行列式

1.1 行列式的概念

$\left|$

\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}

\right| =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

∣ ∣ a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} ∣ ∣ = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

行列式其实就是速记的符号。

二阶对角线的法则
三阶行列式的对角线法则

1.2 n阶行列式的定义

代数余子式的概念：（余子式的概念）
$D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\\ 类似的有D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3},i=1,2,3.\\ 或D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j},j=1,2,3\\ A_{ij}称为元素a_{ij}的代数余子式$
n阶行列式的定义：

余子式 $M_{ij}$
$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}或D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{mj}A_{mj}$

1.3 特殊行列式的计算

对角行列式

$D=a_{11}a_{22}...a_{nn}$ 为主对角线元素的乘积
上三角和下三角行列式

行列式值为对角线元素的乘积
斜三角行列式

在这里插入图片描述

1.4 行列式的计算

1.4.1 性质

$D=D^T$

由行列式的性质知成立

互换两行，行列式变号

推论：若有两行完全相同，那么行列式为0
$a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+...+a_{jn}A_{in}=$
${\begin{cases} D, (i = j) \\ 0, (i \neq j) \end{cases}$ \\ a_{1j}A_{1i}+a_{2j}A_{2i}+...+a_{nj}A_{ni}= ${\begin{cases} D, (i = j) \\ 0, (i \neq j) \end{cases}$ \\ $a_{j 1} A_{i 1} + a_{j 2} A_{i 2} + ... + a_{jn} A_{in} = {D, (i = j) 0, (i \neq = j) a_{1 j} A_{1 i} + a_{2 j} A_{2 i} + ... + a_{nj} A_{ni} = {D, (i = j) 0, (i \neq = j)$
用数k乘以行列式中的某一行（式）等于该行列式的k倍

推论：提取公因子
行列式中某一行元素加上另一行对应元素的k倍，行列式不变

利用性质2+按照行展开可证明
若行列式某一行元素是两个数的和，那么可以拆成两个行列式

1.4.2 行列式的计算

利用行列式性质：某行（列）加上/减去另一行/列的几倍，行列式不变。

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性质2：某行乘k等于k乘以此行列式

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