学习笔记19--汽车模型之汽车运动学

本系列博客包括6个专栏，分别为：《自动驾驶技术概览》、《自动驾驶汽车平台技术基础》、《自动驾驶汽车定位技术》、《自动驾驶汽车环境感知》、《自动驾驶汽车决策与控制》、《自动驾驶系统设计及应用》。
此专栏是关于《自动驾驶汽车决策与控制》书籍的笔记.

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2.汽车模型

2.2 汽车运动学

汽车运动模型指用数学方式描述汽车运动而不考虑影响汽车运动的力；

建立汽车运动学模型需要作以下假设：

• 不考虑汽车在$Z$轴方向的运动，只考虑$XY$水平面的运动；
• 左右侧车轮转角一致，这样可把左右侧轮胎合并成一个轮胎；
• 汽车行驶速度变化缓慢，忽略前后轴载荷的转移；
• 车身及悬架系统是刚性的；
  

在汽车运动学模型中，汽车前轮由位于$A$点的一个车轮代替，后轮由位于$B$点的一个后轮代替；前、后轮转角分别用${\delta }_f$和${\delta }_r$表示；此模型建立的前提是前、后轮均能转向，如果只有前轮能转向时，则后轮转向角${\delta }_r$设置为0，汽车质心位于点$C$；从质心$C$到点$A$和点$B$的距离分别用$l_f$和$l_r$表示，汽车的轴距表示为$L=l_f+l_r$；

假设汽车进行平面运动，此时需要用三个变量来描述汽车的运动：$X,Y,\psi$；点$(X,Y)$为汽车质心点的坐标，$\psi$用来描述汽车的行驶方向，汽车质心点的速度用$V$表示，汽车速度方向与汽车纵轴的夹角用$\beta$表示，$\beta$称为汽车的侧偏角；

在运动学模型中，点$A$处和点$B$处的速度方向分别为前轮和后轮的方向，前轮速度方向与汽车纵轴形成的夹角用${\delta }_f$表示，后轮速度方向与汽车纵轴形成的夹角用${\delta }_r$表示，忽略前后轮的侧偏角；汽车的瞬时旋转中心用点$O$表示，旋转中心$O$由垂直两滚动轮方向的直线$AO、BO$的交点确定；汽车行驶轨迹的半径$R$等于连接质心$C$和旋转中心$O$的线段$CO$的长度；质心处的车速方向垂直于线段$OC$；质心处速度方向与汽车纵轴形成的夹角为汽车的侧偏角$\beta$，汽车的横摆角用$\psi$表示，汽车方向角为$\gamma =\psi +\beta$；

在$\Delta OCA$上用正弦定理，有：
$$\frac{\sin ({\delta }_f-\beta )}{l_f}=\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-{\delta }_f)}{R}\text{\hspace{1em}(22)}$$
在$\Delta OCB$上用正弦定理，有：
$$\frac{\sin (\beta -{\delta }_r)}{l_r}=\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-{\delta }_r)}{R}\text{\hspace{1em}(23)}$$
由式(22)可得：
$$\frac{-\sin (\beta )\cos ({\delta }_f)}{l_f}=\frac{\cos ({\delta }_f)}{R}\text{\hspace{1em}(24)}$$
由式(23)可得：
$$\frac{\cos ({\delta }_r)\sin (\beta )-\cos (\beta )\sin ({\delta }_r)}{l_r}=\frac{\cos ({\delta }_r)}{R}\text{\hspace{1em}(25)}$$
化简合并可得：
{ tan ⁡ ( δ f ) − tan ⁡ ( δ r ) } cos ⁡ β = l f + l r R (26) \{\tan(\delta_f)-\tan(\delta_r)\}\cos\beta=\frac{l_f+l_r}{R}\tag{26} {tan(δf​)−tan(δr​)}cosβ=Rlf​+lr​​(26)
如果汽车轨迹半径缓慢变化，汽车行驶方向的变化率将等于汽车的角速度，汽车的角速度为$V/R$，则有：
$$\dot{\psi }=\frac{V}{R}\text{\hspace{1em}(27)}$$
将式(26)、式(27)整理：
$$\dot{\psi }=\frac{V\cos \beta }{l_f+l_r}(\tan ({\delta }_f)-\tan ({\delta }_r))\text{\hspace{1em}(28)}$$
运动的总方程为：
X ˙ = V cos ⁡ ( ψ + β ) Y ˙ = V sin ⁡ ( ψ + β ) ψ ˙ = V cos ⁡ β l f + l r ( tan ⁡ ( δ f ) − tan ⁡ ( δ r ) ) (29) ˙X=Vcos(ψ+β)˙Y=Vsin(ψ+β)˙ψ=Vcosβlf+lr(tan(δf)−tan(δr))

\tag{29} ​X˙=Vcos(ψ+β)Y˙=Vsin(ψ+β)ψ˙​=lf​+lr​Vcosβ​(tan(δf​)−tan(δr​))​(29)
在这模型中，有三个输入量，${\delta }_f、{\delta }_r、V$，速度$V$为外部变量，可以假设为时间函数或是从纵向汽车模型中获得；

侧偏角$\beta$：
$$\beta =\arctan \left(\frac{l_f\tan {\delta }_r+l_r\tan {\delta }_f}{l_f+l_r}\right)\text{\hspace{1em}(30)}$$

图5.10，$l_w$表示汽车的轨迹宽度，${\delta }_o、{\delta }_i$分别表示外侧和内侧的转向角，设轴距$L=l_f+l_r$，小于半径$R$；若侧偏角$\beta$很小，则可近似表示为：
$$\frac{\psi }{V}\approx \frac{1}{R}=\frac{\delta }{L}\text{\hspace{1em}(31)}$$
由于内侧和外侧车轮的行驶半径不同，因此有：
$${\delta }_o=\frac{L}{R+\frac{l_w}{2}}，{\delta }_i=\frac{L}{R-\frac{l_w}{2}}\text{\hspace{1em}(32)}$$
前轮的平均转向角为：
$$\delta =\frac{{\delta }_o+{\delta }_i}{2}\approx \frac{L}{R}\text{\hspace{1em}(33)}$$
${\delta }_o$和${\delta }_i$间的差值为：
$${\delta }_i-{\delta }_o=\frac{L}{R^2}{l}_w=\delta \frac{2l_w}{L}\text{\hspace{1em}(34)}$$
因此，两前轮转向角的差值与平均转向角的二次方成正比；