计算机系统运行时，为了确保数据在传送过程中正确无误，一是提高硬件电路的可靠性，二是提高代码的校验能力，包括查错和纠错。通常使用校验码的方式来检测传送的数据是否出错。

其基本思想是吧数据可能出现的编码分为两类：合法编码和错误编码。合法编码用于传送数据，错误编码是不允许在数据中出现的编码；合理地设计错误编码以及编码规则，使得数据在传送中出现某种错误时会变成错误编码，这样就可以检测出接收到的数据是否有错。

码距：指一个编码系统中任意任意两个合法编码之间至少有多少个二进制位不同。例如，4位8421码的码距为1，在传输过程中，该代码的以为或多位发生错误，都将变成另外一个合法的编码，因此这种代码无检错能力。

PS：为什么说4位8421码的码距为1？

解答：
	码距的定义：编码系统中任意，任意两个合法编码之间至少有多少个二进制位不同，注意任意两个
	8421编码的所有合法编码为:
			0			0000
			1			0001
			2			0010
			3			0011
			4			0100
			5			0101
			6			0110
			7			0111
			8			1000
			9			1001
			10			1010
			11			1011
			12			1100
			13			1101
			14			1110
			15			1111
	任意两个，0000和0001只有1位二进制位不同，所以8421码的码距为1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

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一、奇偶校验码

奇偶校验是一种简单有效的校验方法。这种方法通过在编码中增加一位校验位来使编码中1的个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），从而使码距变为2。

校验位只有一位，要么是0，要么是1。并且它的校验码可以放在码流的前面，也可以放在码流的后面

对于奇校验，它可以检测代码中奇数位出错的编码，但不能发现偶数位出错的情况，即当合法编码中的奇数位发送了错误时（编码中的1变成0或者0变成1），则该编码中1的个数的奇偶性就发生了变化，从而可以发现错误。

常用的奇偶校验码有3种：水平奇偶校验码、垂直奇偶校验码和水平垂直校验码；

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二、海明码

海明码是一种利用奇偶性来检错和纠错的校验方法。海明码的构成方法是在数据位之间的特定位置上插入k个校验位，通过扩大码距来实现检错和纠错。

设数据位是n位，校验位是k位，则n和k必须满足以下关系：

海明码的编码规则如下：
设k个校验位为P_kP_k-1,…,P₁，n个数据位为D_n-1D_n-2,…,D₁D₀，对应的海明码为H_n+kH_n+k-1,…,H₁，那么

• P_i在海明码的第2^i-1位置，即H_j=P_i，且j=2^i-1，数据位则依序从低到高占据海明码中剩下的位置；
• 海明码中的任何一位都是有若干个校验位来检验的。其对应关系如下：
• 被检验的海明码的下标等于所有参与校验该位的校验位的下标之和，而校验位由自身校验；

对于8位的数据位，进行海明码校验需要4个校验位（2³-1=7，2⁴-1=15>8+4）。
令数据位为：D₇,D₆,D₅,D₄,D₃,D₂,D₁,D₀
令校验位为：P₄,P₃,P₂,P₁
形成的海明码为：H₁₂,H₁₁,H₁₀,H₉,…,H₃,H₂,H₁,
（1）确定D和P在海明码中的位置

（2）确定校验关系

海明码	海明码的下标	校验位组
H1(P1)	1	P1
H2(P2)	2	P2
H3(D0)	3=1+2	P1,P2
H4(P3)	4	P3
H5(D1)	5=1+4	P1,P3
H6(D2)	6=2+4	P2,P3
H7(D3)	7=1+2+4	P1,P2,P3
H8(P4)	8	P4
H9(D4)	9=1+8	P1,P4
H10(D5)	10=2+8	P2,P4
H11(D6)	11=1+2+8	P1,P2,P4
H12(D7)	12=4+8	P3,P4

偶校验
P₁校验：校验组中出现P₁的（P₁、D₀、D₁、D₃、D₄、D₆）
即P₁=D₀⊕D₁⊕D₃⊕D₄⊕D₆
P₂=D₀⊕D₂⊕D₃⊕D₅⊕D₆
P₃=D₁⊕D₂⊕D₃⊕D₇
P₄=D₄⊕D₅⊕D₆⊕D₇
奇校验
将各校验位的偶校验值取反即可
（3）检测错误
G₁ = P₁⊕D₀⊕D₁⊕D₃⊕D₄⊕D₆
G₂ = P₂⊕D₀⊕D₂⊕D₃⊕D₅⊕D₆
G₃ = P₃⊕D₁⊕D₂⊕D₃⊕D₇
G₄ = P₄⊕D₄⊕D₅⊕D₆⊕D₇
当采用偶校验，则G₄G₃G₂G₁全为0时表示接收到的数据无错误（奇校验应全为1）
当G₄G₃G₂G₁不全为0时说明发生了错误，而且G₄G₃G₂G₁的十进制指出了发生错误的位置，例如：
G₄G₃G₂G₁=1010，说明H₁₀（D₅）出错了，将其取反即可纠正错误

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三、循环冗余校验码

循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Check, CRC）广泛应用于数据通信领域和磁介质存储系统中。它利用生成多项式weik个数据位产生r个校验位来进行编码，其编码长度为k+r，CRC的代码格式为：

由此可知，循环冗余校验码是由两部分组成的，左边为信息码（数据），右边为校验码。若信息码占k为，则校验码就占n-k位。其中，n为CRC码的字长，所以又称为（n,k）码。校验码是由信息码产生的，校验码位数越多，该代码的校验能力就越强。在求CRC编码时，采用的是模2运算。模2加减运算的规则是按位运算，不发生借位和进位。