高等数学（第七版）同济大学 习题4-2（后半部分） 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题4-2（后半部分）

 

解：

   ( 30 )  令 u = e x ，得 ∫ d x e x + e − x = ∫ 1 u + 1 u ⋅ 1 u d u = ∫ 1 1 + u 2 d u = a r c t a n   u + C = a r c t a n ( e x ) + C    ( 31 )  令 u = 2 x ，得 ∫ 1 − x 9 − 4 x 2 d x = 1 2 ∫ 1 − u 2 3 2 − u 2 d u = 1 2 ( ∫ 1 3 2 − u 2 d u − 1 2 ∫ u 3 2 − u 2 d u ) ，令 t = u 2 ，得            1 2 ( ∫ 1 3 2 − u 2 d u − 1 2 ∫ u 3 2 − u 2 d u ) = 1 2 ( ∫ 1 3 2 − u 2 d u − 1 2 ∫ t 9 − t ⋅ 1 2 t d t ) =            1 2 ( ∫ 1 3 2 − u 2 d u + 1 4 ∫ 1 9 − t d ( 9 − t ) ) = 1 2 a r c s i n   2 3 x + 9 − 4 x 2 4 + C    ( 32 )   ∫ x 3 9 + x 2 d x = ∫ x d x − 9 2 ∫ 1 9 + x 2 d ( 9 + x 2 ) = 1 2 x 2 − 9 2 l n ( 9 + x 2 ) + C    ( 33 )   ∫ d x 2 x 2 − 1 d x = 1 2 ∫ ( 1 2 x − 1 − 1 2 x + 1 ) d x = 1 2 2 l n   ∣ 2 x − 1 2 x + 1 ∣ + C    ( 34 )   ∫ d x ( x + 1 ) ( x − 2 ) = 1 3 ∫ ( 1 x − 2 − 1 x + 1 ) d x = 1 3 l n   ∣ x − 2 x + 1 ∣ + C    ( 35 )   ∫ x x 2 − x − 2 d x = ∫ x ( x − 2 ) ( x + 1 ) d x = 1 3 ∫ ( 2 x − 2 + 1 x + 1 ) d x = 2 3 l n   ∣ x − 2 ∣ + 1 3 l n   ∣ x + 1 ∣ + C    ( 36 )  令 x = a s i n   u   ( − π 2 < u < π 2 ) ，则 a 2 − x 2 = a c o s   u ， d x = a c o s   u d u ，得 ∫ x 2 d x a 2 − x 2 =             ∫ a 2 s i n 2   u d u = a 2 ∫ 1 − c o s   2 u 2 d u = a 2 2 ( u − s i n   2 u 2 ) + C = a 2 2 a r c s i n   x a − x a 2 − x 2 2 + C    ( 37 )  令 t = 1 x ，当 x > 1 时，得 ∫ d x x x 2 − 1 = − ∫ 1 1 − t 2 d t = − a r c s i n   t + C = − a r c s i n   1 x + C ，            当 x < − 1 时，得 ∫ d x x x 2 − 1 = ∫ 1 1 − t 2 d t = a r c s i n   t + C = a r c s i n   1 x + C ，            所以，在 ( − ∞ ,   − 1 ) 和 ( 1 ,   + ∞ ) 内，有 ∫ d x x x 2 − 1 = − a r c s i n   1 ∣ x ∣ + C    ( 38 )  令 x = t a n   u   ( − π 2 < u < π 2 ) ，则 x 2 + 1 = s e c   u ， d x = s e c 2   u d u ，得 ∫ d x ( x 2 + 1 ) 3 =             ∫ c o s   u d u = s i n   u + C = x 1 + x 2 + C    ( 39 )  令 x = 3 s e c   u   ( 0 ≤ u < π 2 ) ，当 x > 3 时，得 ∫ x 2 − 9 x d x = 3 ∫ t a n 2   u d u = 3 ∫ ( s e c 2   u − 1 ) d u =             3 t a n   u − 3 u + C = x 2 − 9 − 3 a r c c o s   3 x + C ，            令 x = 3 s e c   u   ( π 2 < u ≤ π ) ，当 x > 3 时，得 ∫ x 2 − 9 x d x = − 3 ∫ t a n 2   u d u = − 3 ∫ ( s e c 2   u − 1 ) d u =             − 3 t a n   u − 3 u + C 0 = x 2 − 9 + 3 a r c c o s   3 x + C 0 = x 2 − 9 − 3 a r c c o s   3 − x + C 0 + 3 π ，            合并后得 ∫ x 2 − 9 x d x = x 2 − 9 − 3 a r c c o s   3 ∣ x ∣ + C    ( 40 )  令 u = 2 x ，得 ∫ d x 1 + 2 x = ∫ u 1 + u d u = u − l n ( 1 + u ) + C = 2 x − l n ( 1 + 2 x ) + C    ( 41 )  令 x = s i n   t   ( − π 2 < t < π 2 ) ，则 1 − x 2 = c o s   t ， d x = c o s   t d t ，得 ∫ d x 1 + 1 − x 2 = ∫ c o s   t 1 + c o s   t d t =             ∫ 2 c o s 2 t 2 − 1 2 c o s 2 t 2 d t = t − t a n   t 2 + C = t − s i n   t 1 + c o s   t + C = a r c s i n   x − x 1 + 1 − x 2 + C    ( 42 )  令 x = s i n   t   ( − π 4 < t < π 2 ) ，则 1 − x 2 = c o s   t ， d x = c o s   t d t ，得 ∫ d x x + 1 − x 2 = ∫ c o s   t s i n   t + c o s   t d t             令 I 1 = ∫ c o s   t s i n   t + c o s   t d t ， I 2 = ∫ s i n   t s i n   t + c o s   t d t ，由 I 1 + I 2 = ∫ d t = t + C ，              I 1 − I 2 = ∫ c o s   t − s i n   t s i n   t + c o s   t d t = ∫ 1 s i n   t + c o s   t d ( s i n   t + c o s   t ) = l n   ∣ s i n   t + c o s   t ∣ + C ，             得 I 1 = ∫ c o s   t s i n   t + c o s   t d t = 1 2 ( t + l n   ∣ s i n   t + c o s   t ∣ ) + C ，即在 ( − 2 2 ,   1 ) 内，有 ∫ d x x + 1 − x 2 =              1 2 ( a r c s i n   x + l n   ∣ x + 1 − x 2 ∣ ) + C ，             令 x = s i n   t   ( − π 2 < t < − π 4 ) ，同样可得在 ( − 1 ,   − 2 2 ) 内有 ∫ d x x + 1 − x 2 =              1 2 ( a r c s i n   x + l n   ∣ x + 1 − x 2 ∣ ) + C ，             因此，在 ( − 2 2 ,   1 ) 或 ( − 1 ,   − 2 2 ) 内有 ∫ d x x + 1 − x 2 = 1 2 ( a r c s i n   x + l n   ∣ x + 1 − x 2 ∣ ) + C    ( 43 )   ∫ x − 1 x 2 + 2 x + 3 d x = ∫ x + 1 − 2 ( x + 1 ) 2 + 2 d x = 1 2 ∫ 1 ( x + 1 ) 2 + 2 d [ ( x + 1 ) 2 + 2 ] − 2 ∫ 1 ( x + 1 2 ) 2 + 1 d ( x + 1 2 ) =              1 2 l n ( x 2 + 2 x + 3 ) − 2 a r c t a n   x + 1 2 + C    ( 44 )  令 x = t a n   t   ( − π 2 < t < π 2 ) ，则 x 2 + 1 = s e c 2   t ， d x = s e c 2   t d t ，得 ∫ x 3 + 1 ( x 2 + 1 ) 2 d x = ∫ t a n 3   t + 1 s e c 2   t d t =              ∫ c o s 2   t − 1 c o s   t d ( c o s   t ) + ∫ 1 + c o s   2 t 2 d t = 1 2 c o s 2   t − l n   c o s   t + 1 2 t + 1 4 s i n   2 t + C =              1 2 c o s 2   t − l n   c o s   t + 1 2 t + 1 2 s i n   t c o s   t + C ，作辅助三角形，得 c o s   t = 1 1 + x 2 ， s i n   t = x 1 + x 2 ，得              ∫ x 3 + 1 ( x 2 + 1 ) 2 d x = 1 + x 2 ( 1 + x 2 ) + 1 2 l n ( 1 + x 2 ) + 1 2 a r c t a n   x + C

​  (30) 令u=ex，得∫ex+e−xdx​=∫u+u1​1​⋅u1​du=∫1+u21​du=arctan u+C=arctan(ex)+C  (31) 令u=2x，得∫9−4x2 ​1−x​dx=21​∫32−u2 ​1−2u​​du=21​(∫32−u2 ​1​du−21​∫32−u2 ​u​du)，令t=u2，得          21​(∫32−u2 ​1​du−21​∫32−u2 ​u​du)=21​(∫32−u2 ​1​du−21​∫9−t ​t ​​⋅2t ​1​dt)=          21​(∫32−u2 ​1​du+41​∫9−t ​1​d(9−t))=21​arcsin 32​x+49−4x2 ​​+C  (32) ∫9+x2x3​dx=∫xdx−29​∫9+x21​d(9+x2)=21​x2−29​ln(9+x2)+C  (33) ∫2x2−1dx​dx=21​∫(2x ​−11​−2x ​+11​)dx=22 ​1​ln ∣ ∣​2x ​+12x ​−1​∣ ∣​+C  (34) ∫(x+1)(x−2)dx​=31​∫(x−21​−x+11​)dx=31​ln ∣ ∣​x+1x−2​∣ ∣​+C  (35) ∫x2−x−2x​dx=∫(x−2)(x+1)x​dx=31​∫(x−22​+x+11​)dx=32​ln ∣x−2∣+31​ln ∣x+1∣+C  (36) 令x=asin u (−2π​<u<2π​)，则a2−x2 ​=acos u，dx=acos udu，得∫a2−x2 ​x2dx​=           ∫a2sin2 udu=a2∫21−cos 2u​du=2a2​(u−2sin 2u​)+C=2a2​arcsin ax​−2xa2−x2 ​​+C  (37) 令t=x1​，当x>1时，得∫xx2−1 ​dx​=−∫1−t2 ​1​dt=−arcsin t+C=−arcsin x1​+C，           当x<−1时，得∫xx2−1 ​dx​=∫1−t2 ​1​dt=arcsin t+C=arcsin x1​+C，           所以，在(−∞, −1)和(1, +∞)内，有∫xx2−1 ​dx​=−arcsin ∣x∣1​+C  (38) 令x=tan u (−2π​<u<2π​)，则x2+1 ​=sec u，dx=sec2 udu，得∫(x2+1)3 ​dx​=           ∫cos udu=sin u+C=1+x2 ​x​+C  (39) 令x=3sec u (0≤u<2π​)，当x>3时，得∫xx2−9 ​​dx=3∫tan2 udu=3∫(sec2 u−1)du=           3tan u−3u+C=x2−9 ​−3arccos x3​+C，           令x=3sec u (2π​<u≤π)，当x>3时，得∫xx2−9 ​​dx=−3∫tan2 udu=−3∫(sec2 u−1)du=           −3tan u−3u+C0​=x2−9 ​+3arccos x3​+C0​=x2−9 ​−3arccos −x3​+C0​+3π，           合并后得∫xx2−9 ​​dx=x2−9 ​−3arccos ∣x∣3​+C  (40) 令u=2x ​，得∫1+2x ​dx​=∫1+uu​du=u−ln(1+u)+C=2x ​−ln(1+2x ​)+C  (41) 令x=sin t (−2π​<t<2π​)，则1−x2 ​=cos t，dx=cos tdt，得∫1+1−x2 ​dx​=∫1+cos tcos t​dt=           ∫2cos22t​2cos22t​−1​dt=t−tan 2t​+C=t−1+cos tsin t​+C=arcsin x−1+1−x2 ​x​+C  (42) 令x=sin t (−4π​<t<2π​)，则1−x2 ​=cos t，dx=cos tdt，得∫x+1−x2 ​dx​=∫sin t+cos tcos t​dt            令I1​=∫sin t+cos tcos t​dt，I2​=∫sin t+cos tsin t​dt，由I1​+I2​=∫dt=t+C，            I1​−I2​=∫sin t+cos tcos t−sin t​dt=∫sin t+cos t1​d(sin t+cos t)=ln ∣sin t+cos t∣+C，            得I1​=∫sin t+cos tcos t​dt=21​(t+ln ∣sin t+cos t∣)+C，即在(−22 ​​, 1)内，有∫x+1−x2 ​dx​=            21​(arcsin x+ln ∣x+1−x2 ​∣)+C，            令x=sin t (−2π​<t<−4π​)，同样可得在(−1, −22 ​​)内有∫x+1−x2 ​dx​=            21​(arcsin x+ln ∣x+1−x2 ​∣)+C，            因此，在(−22 ​​, 1)或(−1, −22 ​​)内有∫x+1−x2 ​dx​=21​(arcsin x+ln ∣x+1−x2 ​∣)+C  (43) ∫x2+2x+3x−1​dx=∫(x+1)2+2x+1−2​dx=21​∫(x+1)2+21​d[(x+1)2+2]−2 ​∫(2 ​x+1​)2+11​d(2 ​x+1​)=            21​ln(x2+2x+3)−2 ​arctan 2 ​x+1​+C  (44) 令x=tan t (−2π​<t<2π​)，则x2+1=sec2 t，dx=sec2 tdt，得∫(x2+1)2x3+1​dx=∫sec2 ttan3 t+1​dt=            ∫cos tcos2 t−1​d(cos t)+∫21+cos 2t​dt=21​cos2 t−ln cos t+21​t+41​sin 2t+C=            21​cos2 t−ln cos t+21​t+21​sin tcos t+C，作辅助三角形，得cos t=1+x2 ​1​，sin t=1+x2 ​x​，得            ∫(x2+1)2x3+1​dx=2(1+x2)1+x​+21​ln(1+x2)+21​arctan x+C​​