前言

最近在学习CSS动画，其中动画时间函数的部分涉及到了贝塞尔曲线的相关知识。对于这部分知识，之前一直没有好好学习过，正好借着这个机会学习下。

1. 贝塞尔曲线

首先简单介绍下贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段 与节点 组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线 的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。 ——《百度百科》

贝塞尔曲线在图形学中广泛应用，是非常重要的曲线。那么如何绘制一条贝塞尔曲线呢？

线性曲线

给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

B(t)=P0+(P1−P0)t=(1−t)P0+tP1,t∈[0,1]B(t) = P_0 + (P_1-P_0)t = (1-t)P_0 + tP_1, t\in[0, 1]B(t)=P0​+(P1​−P0​)t=(1−t)P0​+tP1​,t∈[0,1]

线性贝塞尔曲线函数中的_t_会经过由P0P_0P0​至P1P_1P1​的B(t)B(t)B(t)所描述的曲线。例如当t=0.25t=0.25t=0.25时，即B(t)B(t)B(t)一条由点P0P_0P0​至P1P_1P1​径的四分之一处。就像由0至1的连续ttt，B(t)B(t)B(t)描述一条由P0P_0P0​至P1P_1P1​的直线。

二次曲线

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0P_0P0​、P1P_1P1​、P2P_2P2​的函数B(t)B(t)B(t)追踪：

B(t)=(1−t2)P0+2t(1−t)P1+t2P2,t∈[0,1]B(t) = (1-t^2)P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2P_2 , t\in[0, 1]B(t)=(1−t2)P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​,t∈[0,1]

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0Q_0Q0​和Q1Q_1Q1​作为由0至1的ttt：

• 由P0P_0P0​至P1P_1P1​的连续点Q0Q_0Q0​，描述一条线性贝塞尔曲线。
• 由P1P_1P1​至P2P_2P2​的连续点Q1Q_1Q1​，描述一条线性贝塞尔曲线。
• 由Q0Q_0Q0​至Q1Q_1Q1​的连续点B(t)B(t)B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。

此处可以进行公式推导：

Q0(t)=(1−t)P0+tP1//由P0−P1可得Q0Q_0(t) = (1-t)P_0 + tP_1 // 由P_0-P_1可得Q_0Q0​(t)=(1−t)P0​+tP1​//由P0​−P1​可得Q0​

Q1(t)=(1−t)P1+tP2//由P1−P2可得Q1Q_1(t) = (1-t)P_1 + tP_2 // 由P_1-P_2可得Q_1Q1​(t)=(1−t)P1​+tP2​//由P1​−P2​可得Q1​

B(t)=(1−t)Q0(t)+tQ1(t)=（1−t）2P0+2t(1−t)P1+t2P2B(t) = (1-t)Q_0(t) + tQ_1(t) = （1-t）^2P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2P_2B(t)=(1−t)Q0​(t)+tQ1​(t)=（1−t）2P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​

三次曲线

P0P_0P0​、P1P_1P1​、P2P_2P2​、P3P_3P3​四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0P_0P0​走向P1P_1P1​，并从P2P_2P2​的方向来到P3P_3P3​。一般不会经过P1P_1P1​或P2P_2P2​；这两个点只是在那里提供方向信息。P0P_0P0​和P1P_1P1​之间的间距，决定了曲线在转而趋进P2P_2P2​之前，走向P1P_1P1​方向的“长度有多长”。

可以利用之前的线性公式和二阶曲线公式进行推导：

R0(t)=（1−t）2P0+2t(1−t)P1+t2P2//由P0−P1−P2可得R0R_0(t) =（1-t）^2P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2P_2 //由P_0-P_1-P_2可得R_0R0​(t)=（1−t）2P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​//由P0​−P1​−P2​可得R0​

R1(t)=（1−t）2P1+2t(1−t)P2+t2P3//由P1−P2−P3可得R1R_1(t) =（1-t）^2P_1 + 2t(1-t)P_2 + t^2P_3 //由P_1-P_2-P_3可得R_1R1​(t)=（1−t）2P1​+2t(1−t)P2​+t2P3​//由P1​−P2​−P3​可得R1​

B(t)=(1−t)R0(t)+tR1(t)=P0(1−t)3+3P1t(1−t)2+3P2t2(1−t)+P3t3,t∈[0,1]B(t) = (1-t)R_0(t) + tR_1(t) = P_0(1-t)^3 + 3P_1t(1-t)^2 + 3P_2t^2(1-t)+P_3t3, t\in[0,1]B(t)=(1−t)R0​(t)+tR1​(t)=P0​(1−t)3+3P1​t(1−t)2+3P2​t2(1−t)+P3​t3,t∈[0,1]

2. CSS中的贝塞尔曲线

在CSS中，应用到贝塞尔曲线的属性主要有transition 和 animation 。

transition中有 transition-timing-function ，animation中有 animation-timing-function 。

这两个属性类型相同，包含一个或多个类型的值。语法如下：

#
where 
 = linear |  | 

where 
 = ease | ease-in | ease-out | ease-in-out | cubic-bezier(, , , )
 = step-start | step-end | steps([, ]?)

where 
 = jump-start | jump-end | jump-none | jump-both | start | end 
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其中我们重点关注类型。可以看到该类型有五个值：

• ease
• ease-in
• ease-out
• ease-in-out
• cubic-bezier(, , , )

前四个关键字都是简写，最后一个则是可以通过cubic-bezier()函数生成自定义的贝塞尔曲线。

cubic-bezier()

cubic-bezier()函数定义了一个三次贝塞尔曲线。三次贝塞尔曲线通过四个点P0P_0P0​、P1P_1P1​、P2P_2P2​和P3P_3P3​来定义。P0P_0P0​和P3P_3P3​是曲线的起点和终点，在CSS中起点和终点都是固定的，P0P_0P0​是(0,0)(0, 0)(0,0)，表示初始时间或位置以及初始状态，P3P_3P3​是(1,1)(1, 1)(1,1)表示最终时间或位置以及最终状态。

语法如下：

cubic-bezier(x1, y1, x2, y2) 
1

x1x_1x1​和y1y_1y1​定义了P1P_1P1​点的横纵坐标，x2x_2x2​和y2y_2y2​定义了P2P_2P2​点的横纵坐标。其中x1x_1x1​和x2x_2x2​的范围必须在[0,1][0,1][0,1]区间内，否则这个曲线就是无效的。

CSS中如果声明了无效的三次贝塞尔曲线，那么整个属性的都声明都会被无视。

上图所示为cubic-bezier(0.075, 0.75, 0.875, 0.36)声明的曲线。

ease

ease关键字等同于cubic-bezier(0.25, 0.1, 0.25, 1.0)，特点是曲线刚开始加速较快，结束时平稳。

ease-in

ease-in关键字等同于cubic-bezier(0.42, 0.0, 1.0, 1.0)，特点是曲线刚开始较为平稳，结束时加速剧烈。

ease-out

ease-out关键字等同于cubic-bezier(0.0, 0.0, 0.58, 1.0)，特点是曲线开始就突然加速，结束时平稳减速。

ease-in-out

ease-in-out关键字等同于cubic-bezier(0.42, 0.0, 0.58, 1.0)。特点是曲线开始时加速缓慢平稳，表现和ease-in相同；结束时缓慢平稳减速，表现和ease-out相同。

3. 贝塞尔曲线的应用

在CSS动画中，贝塞尔曲线的横坐标代表时间比率，纵坐标代表输出比率。

所以在某个时间点的斜率就代表动画的运动速度，曲线越陡峭，速度越快；曲线越平缓，速度则越慢。我们可以通过自定义曲线来做不同的运动动画。

cubic-bezier.com/ 这个网站可以帮助我们快速生成自定义的贝塞尔曲线，非常的实用：

比较经典的例子是，将参考点P1P_1P1​设置在第四象限，让曲线先向下走再向上走：

利用这样的特殊的贝塞尔曲线，可以生成具有回弹效果的运动轨迹：

.circle {position: relative;left: 100px;width: 100px;height: 100px;border-radius: 50%;background: deepskyblue;animation: jump 3s cubic-bezier(.6,-0.47,.63,1) forwards;
}
@keyframes jump {0% {transform: translateX(0);}100% {transform: translateX(300px);}
} 
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4

效果如下：

也可以为opacity属性添加动画，制作出先显示，再隐藏，再显示的动画：

.visible {position: relative;top: 100px;width: 100px;height: 100px;background: black;animation: visible 5s cubic-bezier(.14,.33,.16,-0.88) both;
}
@keyframes visible {0% {opacity: 0;}100% {opacity: 1;}
} 
1
2
3
4

效果如下：

总结

本文介绍了线性贝塞尔曲线、二次贝塞尔曲线以及三次贝塞尔曲线，没有介绍高阶贝塞尔曲线是因为在CSS中只用到cubic-bezier()函数，也就是三次贝塞尔曲线。在CSS transition和animation中使用贝塞尔曲线可以制作多种多样的缓动动画。

除了CSS动画，在图形绘制中也经常使用贝塞尔曲线，多一些了解对于在日常的开发也会有很多的帮助，大家不妨多多尝试~