【基本算法题-2022.7.30】9. 奇怪的汉诺塔

每日一题包含七大板块，现在从最基本的算法题开始，此类题型包括位运算、递推、递归、二分、排序、贪心等，从简单到复杂，跟我一起从点滴积累，到最终一举成名，打遍天下！✨

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💻基本算法题9. 奇怪的汉诺塔

汉诺塔问题，条件如下：

1、这里有 A、B、C 和 D 四座塔。

2、这里有 n 个圆盘，n 的数量是恒定的。

3、每个圆盘的尺寸都不相同。

4、所有的圆盘在开始时都堆叠在塔 A 上，且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。

5、我们需要将所有的圆盘都从塔 A 转移到塔 D 上。

6、每次可以移动一个圆盘，当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时，可将圆盘移至这座塔上。

请你求出将所有圆盘从塔 A 移动到塔 D，所需的最小移动次数是多少。

输入格式
没有输入

输出格式
对于每一个整数 n，输出一个满足条件的最小移动次数，每个结果占一行。

数据范围
1≤n≤12

输入样例：

没有输入
1

输出样例：

参考输出格式
1

🍀题解 — DP+递推

对于汉诺塔问题，我们究其根底

约定：

1. 我们用ABCDE来命名塔的名字，
2. 默认初始的圆盘都在A塔上，最终要移动到最后一个塔上。
3. d 数组存放3个塔的结果，f 数组存放4个塔的结果， g 数组存放5个塔的结果

两个塔（AB）

如果只有两个塔，那么只有圆盘个数为一时，答案为1，其余答案为0

三个塔（ABC）

如果有三个塔，移动时我们需要借助二塔里的结论

如果要移动 n 个圆盘，我们需要在三塔的情况下，将上面 n - 1 个较小圆盘移动到B塔，在将一个大圆盘移动到C塔，最后在将 n - 1 个圆盘在三塔的情况下从B移动到C塔

结论：d(n) = d(n - 1) + 1 + d(n - 1)

四个塔（ABCD）
解决完三塔问题，四塔问题将于三塔类似

如果要移动n个圆盘从A到D的话，我们的解决方法是将一部分圆盘（i个圆盘）先移动到B（或者C），因为这前几个圆盘都是非常小的，后面剩下的大圆盘不能压在上面，所以放小圆盘这个塔暂时不能使用

那么问题将会变成，怎么在三塔情况下将n - i 个圆盘从A移动到D，这时可以用三塔的结论；

问题1：我们先移动的一部分圆盘到底是几个呢，我们需要枚举，最终答案取最小值。

结论：先把前 i 个盘子在四塔情况下移动到B，剩下的盘子在三塔情况下移动到D，最后在将那 i 个小的盘子在四塔情况下从B移动到D。

f(n) = min(f(n), f(i) + d(n - i) + f(i)) 0 <= i <= n;

对于这道题：

首先，可以初步确定，这是一道递归/递推的题目。

我们先考虑三个塔的汉诺塔问题，最优秀方案：必然是先挪走n-1个圆盘，然后再挪走圆盘N，

因此可以得出递推方程也就是 d[i]=d[i-1]*2+1;

之所以要乘以2，是因为第一次挪到第二个塔，然后还要挪移回到第三个塔，下面四个塔也是这样的

接着考虑四塔问题，我们可以这么思考，首先挪走j个塔，也就是有四个塔可以选择，然后再挪走剩下的n-j个塔，此时有三个塔可以选择，因此这就是我们的状态转移方程：

f[i]=min(f[i],f[j]*2+d[n-j]);其中i表示当前一共有几个塔，也就是上文所说的n

📝代码展示

#include 
using namespace std;
int d[21],f[21],i,j;
int main()
{
    for (i=1;i<=12;i++)
        d[i]=2*d[i-1]+1;
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for (i=1;i<=12;i++)
        for (j=0;j<i;j++)
            f[i]=min(f[i],f[j]+f[j]+d[i-j]);
    for (i=1;i<=12;i++)
        cout<<f[i]<<endl;
}


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【🎯知识点：递推算法】

递推 是指将一个看似复杂，难以求解的问题一步步的转换成小问题，最后到达一个（或若干个）基本解，这些基本解很好想出来，也有的是人为规定的，然后再依赖这些基本解一步一步反向求解最初的大问题的过程。

举一个最简单和常见的例子，斐波那契数列，这个数列的每一项等于前面两项之和。如下：

{1,1,2,3,5,8,13…}

如果让你直接求斐波那契数列的第100个数f(100)，很难直接想出来，但是我们可以通过找到如下的递推关系：f(n)=f(n−1)+f(n−2)，并且确定基本解f(1)=1，f(2)=1(因为递推关系只依赖前面两项，所以只求出基本的两项即可)，之后就可以求出f(3)，再用f(2)+f(3)求f(4)，最后求解到f(100)。

很多问题可以找到递推关系，所以这个工具很常用，比如解决具有重叠子问题的递推关系的算法叫“动态规划”，它出现在很多面试题和算法竞赛当中 。

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