1.优先级队列

1.1概念

之前我们学习过队列是一种先进先出的数据结构，但在某些场景下，操作的数据具有优先级，在出队列时，需要优先级高的数据先出队列。比如在打游戏时来电话了，那么操作系统应该先处理电话；还有在游戏英雄联盟中泰坦的Q的优先级比机器人高；

诸如这些情况下，我们需要数据结构提供两种最基本的操作，首先添加新的对象，然后返回最高优先级对象，这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue).

2.堆的模拟实现

在JDK1.8中的PriorityQueue底层使用了堆的数据结构，而堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。

2.1 堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆

堆满足以下性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。
• 堆总是一棵完全二叉树。
  

2.2 堆的存储方式

因为堆是一颗完全二叉树，所以我们可以利用层序遍历的方式来存储元素

注：对应非完全二叉树则不适用于顺序方式来存储，因为为了通过顺序表来还原二叉树，则空间中就需要存储空结点，这样会导致空间利用率低。

当元素存储到数组中后，我们如何还原二叉树呢？假设i为节点在数组中的下标，

• 如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
• 如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
• 如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子

用代码来表示就是：

	parent = i / 2;
	leftChild = 2 * i;
	rightChild = 2 * i + 1;
	//或者已知父节点为root
	parent = root;
	leftChild = (2 * parent) + 1;
	rightChild = (2 * parent)  + 1;
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2.3 堆的创建

2.3.1 堆的向下调整(shiftDown)

对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如何将其创建成堆呢？

通过观察可知：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可。

建小堆为例：

1. 让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子)
2. 如果parent的左孩子存在，即:child < len， 进行以下操作，直到parent的左孩子不存在或者已经满足堆的性质。
   2.1 parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标记
   2.2 将parent与较小的孩子child比较，如果parent小于较小的孩子child，调整结束；否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子树不满足对的性质，因此需要继续向下调整，即parent = child；child = parent*2+1; 然后重复2 。
   

/**
 * 向下调整 -
 * 时间复杂度 0(logN)
 * @param arr 二叉树中存放的元素
 * @param root 根节点的下标
 * @param len 数组长度
 */
private static void shiftDown(int[] arr, int root, int len) {
    int parent = root;
    int child = (2 * parent) + 1;//左孩子
    //孩子节点索引不会大于len
    while (child < len) {
        //使child索引位置保存子节点的最大值
        if (child + 1< len && arr[child] < arr[child + 1]) {
            child++;
        }
        if (arr[child] > arr[parent]) {
            swap(arr, child, parent);
            parent = child;
            child = (2 * parent) + 1;
        } else {
            break;
        }
    }
}

private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int tmp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = tmp;
}
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2.3.2 堆的创建

对于一个普通序列，即根的左右子树都不满足堆的特性，那么该如何调整呢？

/**
 * 建堆
 * 时间复杂度 0(n)
 * @param arr
 */
private static void createHeap(int[] arr) {
	// 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整
    for (int p = (arr.length - 1 - 1) / 2; p >=0; p--) {
        shiftDown(arr, p, arr.length);
    }

}
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2.3.3 建堆的时间复杂度

堆是完全二叉树，这里我们简化用满二叉树来证明

所以，建堆的时间复杂度为0(N)

2.4堆的插入和删除

2.4.1 堆的插入

插入步骤：

1. 先把元素放到堆最后(即数组最后)，如果空间不足，则需要扩容。
2. 将插入的元素向上调整，直到满足堆的性质
   

	
/**
 * 向堆中插入元素
 * @param val
 */
public void push(int val) {
    //判满
    if (ifFull()) {
        this.elem = Arrays.copyOf(elem, elem.length * 2);
    }
    //插入
    this.elem[usedSize] = val;
    //调整
    shiftUp(usedSize);
    //有效数据调整
    usedSize++;
}

private boolean ifFull() {
    return elem.length == usedSize;
}

/**
 * 向上调整 - 向堆中添加元素 - 只能添加到末尾然后向上调整
 */
private  void shiftUp(int child) {
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0) {
        //这里本来就是小根堆，根节点的值一定比原来的左右子结点小，所以不需要比较左右节点的大小
        if (elem[child] > elem[parent]) {
            swap(elem, child, parent);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;
        } else {
            break;
        }
    }
}
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2.4.3 堆的删除

删除步骤：
注：堆的删除一定是删除优先级高的元素(即堆顶元素)

1. 将堆顶元素和堆中最后的元素交换
2. 有效数据减一
3. 从堆顶元素开始，向下调整
   

/**
 * 出堆顶元素
 */
public void pollHeap() {
    if (isEmpty()) {
        System.out.println("队列为空");
        return;
    }
    //把堆顶元素和堆尾元素交换
    swap(elem, 0, usedSize - 1);
    //调整大小
    usedSize--;
    //堆的结构改变，所以要向下调整
    shiftDown(elem, 0, usedSize);
}
/**
 * 向下调整 -
 * 时间复杂度 0(logN)
 * @param arr 二叉树中存放的元素
 * @param root 根节点的下标
 * @param len 数组长度
 */
private static void shiftDown(int[] arr, int root, int len) {
    int parent = root;
    int child = (2 * parent) + 1;//左孩子
    //孩子节点索引不会大于len
    while (child < len) {
        //使child索引位置保存子节点的最大值
        if (child + 1< len && arr[child] < arr[child + 1]) {
            child++;
        }
        if (arr[child] > arr[parent]) {
            swap(arr, child, parent);
            parent = child;
            child = (2 * parent) + 1;
        } else {
            break;
        }
    }
}
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3.Java中的优先级队列

3.1 PriorityQueue

Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，我们主要介绍PriorityQueue。

使用注意事项：

1. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出ClassCastException异常
2. 不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException
3. 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
4. 插入和删除元素的时间复杂度为0(logN)
5. PriorityQueue底层使用了堆数据结构, 且是最小堆

3.2 PriorityQueue常用接口介绍

1. 构造方法

它的构造方法在JDK1.8中一共有7种，下面我们介绍几种常见的构造方法

    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11
        PriorityQueue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>();
        // 创建一个空的优先级队列，底层的容量为initialCapacity
        PriorityQueue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100);
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
        list.add(4);
        list.add(3);
        list.add(2);
        list.add(1);
        // 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象

        // q3中已经包含了三个元素
        PriorityQueue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list);
        System.out.println(q3.size());
        System.out.println(q3.peek());

        //自定义比较器
        PriorityQueue<Integer> p4 = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                return o2 - o1;
            }
        });
    }
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注：在默认情况下，PriorityQueue队列是小堆，如果需要大堆需要用户自定义比较器

1. 自定义比较器

class IntCmp implements Comparator<Integer> {
    @Override
    public int compare(Integer o1, Integer o2) {
        return o1 - o2;
    }
}
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2. 使用匿名内部类

        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                return o2 - o1;
            }
        });
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3. 自定义类中实现Comparable接口

class Student implements Comparable<Student> {
    public int age;

    public Student(int age) {
        this.age = age;
    }

    @Override
    public int compareTo(Student o) {
        return o.age - this.age;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Student{" +
                "age=" + age +
                '}';
    }
}
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2.常用方法

3. 扩容方式

JDK1.8 中PriorityQueue的扩容方式及其源码

private static final int MAX_ARRAY_SIZE = Integer.MAX_VALUE - 8;

private void grow(int minCapacity) {
    int oldCapacity = queue.length;
    // Double size if small; else grow by 50%
    int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ?
                                     (oldCapacity + 2) :
                                     (oldCapacity >> 1));
    // overflow-conscious code
    if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0)
        newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);
    queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);
}

private static int hugeCapacity(int minCapacity) {
    if (minCapacity < 0) // overflow
        throw new OutOfMemoryError();
    return (minCapacity > MAX_ARRAY_SIZE) ?
        Integer.MAX_VALUE :
        MAX_ARRAY_SIZE;
}
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扩容介绍：

• 如果容量小于64时，是按照oldCapacity的2倍方式扩容的
• 如果容量大于等于64，是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的
• 如果容量超过MAX_ARRAY_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容

4. 堆的应用

4.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤

1. 建堆

• 升序：建大堆
• 降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序
   

/**
     * 时间复杂度：0(N*logN)
     * 空间复杂度：0(1)
     * 稳定性：不稳定
     * @param arr
     */
    public static void heapSort(int[] arr) {
        //建堆
        createHeap(arr);
        int end = arr.length - 1;
        while (end >= 0) {
            swap(arr, 0, end);
            shiftDown(arr, 0, end);
            end--;
        }
    }

    /**
     * 向下调整 -
     * 时间复杂度 0(logN)
     * @param arr 二叉树中存放的元素
     * @param root 根节点的下标
     * @param len 数组长度
     */
    private static void shiftDown(int[] arr, int root, int len) {
        int parent = root;
        int child = (2 * parent) + 1;//左孩子
        //孩子节点索引不会大于len
        while (child < len) {
            //使child索引位置保存子节点的最大值
            if (child + 1< len && arr[child] < arr[child + 1]) {
                child++;
            }
            if (arr[child] > arr[parent]) {
                swap(arr, child, parent);
                parent = child;
                child = (2 * parent) + 1;
            } else {
                break;
            }
        }
    }

    /**
     * 建堆
     * 时间复杂度 0(n)
     * @param arr
     */
    private static void createHeap(int[] arr) {
        for (int p = (arr.length - 1 - 1) / 2; p >=0; p--) {
            shiftDown(arr, p, arr.length);
        }

    }
    private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;
    }

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4.2 Top-k问题

TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大，所以对于一般排序是不可取的，最佳的方式是堆排序，基本思想如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆
   1.1 前k个最大的元素，则建小堆
   1.2 前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素