并查集——最小生成树算法Kruskal

连通图： 在无向图中，若任意两个顶点$V_i$和$V_j$都有路径相通，则称该无向图为连通图

强连通图： 在有向图中，若任意两个顶点$V_i$和$V_j$都有路径相通，则称该有向图为强连通图

连通网： 在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权值，权值代表着连接各个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网

生成树： 一个连通子图，它包含连通图中全部n个顶点，有n-1条边。如果生成树中再添加一条边，则必定成环

最小生成树： 在连通网的所有生成树中，所有边的代价之和最小的生成树，称为最小生成树

Kruskal算法是处理边的，所以在稀疏的边比较少的连通网中，用Kruskal克鲁斯卡尔算法效率就比较高；在边比较多，点比较少的连通网中，用加点法Prim算法效率比较高

Kruskal算法：此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里，步骤如下：

1. 把图中的所有边按权值从小到大排序，把图中的n个顶点看成独立的n颗树组成的森林
2. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点$V_i$和$V_j$应属于两颗不同的树，则称为最小生成树中的一条边，并合并成一棵树
3. 重复步骤2，直到所有顶点都在一棵树内或者有n-1条边为止

我们接下来求该联通网的最小生成树，选择权值最小的A-C边，由于A、C不在一个集合（并查集），没形成环路

然后选出权值为2的D-F边，此时D、F分别属于两个集合，D-F连接起来也不产生回路

此时B-E边的权值最小，我们选择B-E，B、E分别属于两个集合，连接起来也没有回路

此时C-F的边的权值最小，我们选择C-F，C、F分别属于两个集合，连接起来没有回路

现在B-C，C-D，A-D的权值都是5，都是当前权值最小的边。但是C-D或者A-D都属于同一个集合（并查集），一旦连接就形成回路了
所以我们选择B-C，因为B-C属于不同的集合，连接起来不会形成回路

我们接下来使用并查集的方式来选择边，当一条边的两个节点属于同一个集合时，我们不能选择这条边，否则会形成回路；这条边的两个节点不属于同一个集合时，我们选择这条边，此时不会形成回路

注意了，并查集方法中有一个parent数组，这个parent数组最后展现出来的并查集结构，并不是实际的最小生成树结构，只是利用并查集判断某条边的两个顶点是否在同一个集合，进而确定是否选择这条边

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int parent[1000] = { 0 };

struct Edge {
	Edge(char start, char end, int w)
		: start_(start)
		, end_(end)
		, w_(w)
	{}

	int start_;
	int end_;
	int w_;
};

// 找编号为x的节点的根节点
int find(int x) {
	if (x == parent[x]) {
		return x;
	}
	else {
		// find优化，查找根节点的过程中，把遍历过的节点的父节点都改成根节点
		parent[x] = find(parent[x]);
		return parent[x];
	}
}

int main(){
	int num_edge = 0;
	cin >> num_edge;
	vector<Edge> edges;

	char start, end;
	int w;
	// 输入数据，保存边
	for (int i = 0; i < num_edge; i++) {
		cin >> start >> end >> w;
		edges.emplace_back(start, end, w);
		// 初始化parent数组
		parent[start] = start;
		parent[end] = end;
	}
	// 边进行升序排列
	sort(edges.begin(), edges.end(), 
		[](const Edge& e1, const Edge& e2) ->bool{
		return e1.w_ < e2.w_;
		});
	// 开始合并集合，如果根节点不在同一集合，则可以合并
	for (int i = 0; i < num_edge; i++) {
		int root1 = find(edges[i].start_);
		int root2 = find(edges[i].end_);
		if (root1 != root2) {
			// 根节点不同，可以连接
			parent[root1] = root2;
			printf("%c - %c , w = %d\n", edges[i].start_, edges[i].end_, edges[i].w_);
		}
	}
	return 0;
}

/*
10
A B 6
A C 1
A D 5
B C 5
C D 5
B E 3
C E 6
C F 4
E F 6
D F 2
*/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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