MCS：离散随机变量——Poisson分布

Poisson

当事件在指定的时间间隔内(单位时间)，以固定平均瞬时速率(平均发生次数)$\theta$发生,那么描述这个单位时间内事件发生次数的变量就是泊松变量。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数，例如：每分钟经过十字路口的车辆数量；没小时车站的候客人数；

$$P(x)=\frac{{\theta }^x{e}^{-\theta }}{x!}，x=0,1,2,...$$

期望和方差：

$$E(x)=\theta$$
$$V(x)=\theta$$

泊松变量&指数变量：$t$

$$E(t)=\frac{1}{\theta }$$

生成随机泊松变量

生成随机泊松变量$x$,且$E(x)=V(x)=\theta$

1. 令$x=0,i=0,S_t=0$
2. $i=i+1$，生成随机指数变量：$t$，且$E(t)=1/\theta$，$S_t=S_t+t$
3. if $S_t>1$，$\to step5$
4. if $S_t<=1,x=x+1$，$\to step2$
5. Return $x$

例：假设$x$为服从泊松分布的随机变量，单位时间内事件发生的期望次数为$\theta =2.4$，下面通过指数变量$t$,($E(t)=1/2.4$)来生成泊松变量：

1. 令$x=0，S_t=0$
2. $i=1，t=0.21，S_t=0.21，x=1$
3. $i=2，t=0.43，S_t=0.64，x=2$
4. $i=3，t=0.09，S_t=0.73，x=3$
5. $i=4，t=0.31，S_t=1.04，x=4$
6. $x=3$

例：一个24小时营业的加油站，每天有200-300辆车来这里加油，其中80%是汽车，15%是卡车，5%是摩托车。每辆汽车消耗汽油最小是3加仑，平均是11加仑。卡车消耗汽油最少是8加仑，平均是20加仑。摩托车消耗的汽油最少是2加仑，平均是4加仑。分析员想弄清楚加油站一天之内消耗总量的分布情况。

用随机数模拟未来1000天，加油站汽油消耗情况，车辆的类型和消耗的油量通过随机数生成。

1. 记录模拟数据，每天的耗油总量$G$
2. 从小到大排序,$G(1)<=G(2)<=G(3)<=...G(1000)$
3. 估计分位数：$G(p\times 1000)$，$p=0.01,G(0.01\times 1000)=G(10)$

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
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def gas_consum_oneday():
    num_vehicle = np.clip(np.random.poisson(300), 200, 500)
    num_cars = int(num_vehicle * 0.8)
    num_trucks = int(num_vehicle * 0.15)
    num_motos = num_vehicle - (num_cars + num_trucks)
    car_consume = [np.random.randint(3, 19) for i in range(num_cars)]
    truck_consume = [np.random.randint( 8, 32) for i in range(num_trucks)]
    moto_consume = [np.random.randint( 2, 6) for i in range(num_motos)]
    sum_gas = np.sum(car_consume + truck_consume + moto_consume)
    return num_vehicle, num_cars, num_trucks, num_motos, sum_gas
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模拟结果：

• 日消耗油量超过3536加仑的概率为：5%
• 日耗油量超过3616加仑概率为：1%
• 日耗油90%的区间为：$P(2447<=G<=3536)=0.90$