矩阵分析与应用-03-矩阵的基本运算

在工程和科学中向量可以分为三种：

1.物理向量

2.几何向量

3.代数向量

代数向量又可以分为三种：

1.常数向量

2.函数向量

3.随机向量

定义 1  的转置记作，的复数共轭的转置记为（复共轭转置，Hermitian伴随，Hermitian转置或Hermitian共轭）。满足的正方复矩阵称为共轭对称矩阵。

共轭转置与转置之间存在下列关系：

定义2  两个矩阵和的和记作

定义3  标量与矩阵的乘积记作

定义4  （）与一个向量的乘积：

定义5  （）与一个矩阵的乘积：

定义6  满足的矩阵，称可逆。

共轭、转置和共轭转置满足分配律：

矩阵乘积的转置、共轭转置和逆矩阵满足：

共轭、转置和共轭转置等符号均可与求逆符号交换：

矩阵是Hermitian矩阵。若可逆则：

定义 7  幂等矩阵：

定义 8 对合矩阵： 

定义 9 向量组线性无关与线性相关：若能够找到一组不全部为零的系数，使得成立，就说明向量组线性相关，否则向量组线性无关。

定义 10  当且仅当矩阵方程只有零解，矩阵是非奇异的，否则矩阵为奇异的

定义 11  初等行变换：

1.任意交换两行，Ⅰ型初等行变换

2.一行乘一个非零常数，Ⅱ型初等行变换

3.一行元素同乘一个非零常数加到另一行，Ⅲ型初等行变换

定义 12  阶梯型矩阵：全部零的行位于矩阵底部，每一个非零行的首项元素，出现在上一个非零的首项元素的右边，首项元素下面的同列元素全为0。

定义 13 简约阶梯型矩阵，阶梯型矩阵的基础上，每一个非零行的首项元素等于1，并且每一个首项元素也是它所在列唯一的非零元素。

定义 14 矩阵的主元位置就是矩阵中与其阶梯型的首项元素对应的位置。矩阵中包含主元位置的每一列称为主元列。

定理1：运算法则

乘法结合律：

乘法左分配律：

乘法右分配律：

定理2： 矩阵是非奇异的，当且仅当个列向量线性无关。

定理3：任何一个矩阵都与一个并且唯一的一个简约阶梯型矩阵是行等价的。

算法1 :将矩阵化成简约阶梯型

步骤1，将含有一个非零元素的列设定为最左边的第1列。

步骤2，如果需要，将第1行与其他行互换，以使第1个非零列在第1行有一个非零元素。

步骤3，如果第1行的首项元素为a，则将该行的所有元素乘以1/a，以使该行的首项元素等于1，成为首一元素。

步骤4，通过初等行变换，将其他行位于第1行首一元素下面的全部元素变成0。

步骤5，对第i=2,3,… ,m行依次重复以上步骤，以使每一行的首一元素出现在上一行的首一元素的右边，并使与第主行首一元素同列的其他各行元素都变为0。

算法2：矩阵的求解

步骤1 构造增广矩阵B=[A，b]。

步骤2，使用算法1将增广矩阵B化成简约阶梯型矩阵，它与原增广矩阵等价。

步骤3，从简化的矩阵得到对应的线性方程组，它与原线性方程组等价。

步骤4，得到新的线性方程组的通解。