当
x
=
−
3
，
x
=
2
时
，
f
(
x
)
无
意
义
，
所
以
这
两
个
点
为
间
断
点
，
除
此
之
外
，
函
数
都
连
续
，
连
续
区
间
为
(
−
∞
,
−
3
)
，
(
−
3
,
2
)
，
(
2
,
+
∞
)
f
(
x
)
=
x
3
+
3
x
2
−
x
−
3
x
2
+
x
−
6
=
(
x
+
3
)
(
x
2
−
1
)
(
x
+
3
)
(
x
−
2
)
=
x
2
−
1
x
−
2
lim
x
→
0
f
(
x
)
=
lim
x
→
0
x
2
−
1
x
−
2
=
1
2
lim
x
→
−
3
f
(
x
)
=
lim
x
→
−
3
x
2
−
1
x
−
2
=
−
8
5
lim
x
→
2
f
(
x
)
=
lim
x
→
2
x
2
−
1
x
−
2
，
而
lim
x
→
2
x
−
2
x
2
−
1
=
0
，
所
以
lim
x
→
2
f
(
x
)
=
∞
当x=−3，x=2时，f(x)无意义，所以这两个点为间断点，除此之外，函数都连续， 连续区间为(−∞, −3)，(−3, 2)，(2, +∞) f(x)=x3+3x2−x−3x2+x−6=(x+3)(x2−1)(x+3)(x−2)=x2−1x−2 limx→0f(x)=limx→0x2−1x−2=12 limx→−3f(x)=limx→−3x2−1x−2=−85 limx→2f(x)=limx→2x2−1x−2，而limx→2x−2x2−1=0，所以limx→2f(x)=∞
φ
(
x
)
=
m
a
x
{
f
(
x
)
，
g
(
x
)
}
=
1
2
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
+
∣
f
(
x
)
−
g
(
x
)
∣
]
，
ψ
(
x
)
=
m
i
n
{
f
(
x
)
，
g
(
x
)
}
=
1
2
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
−
∣
f
(
x
)
−
g
(
x
)
∣
]
。
因
f
(
x
)
在
点
x
0
连
续
，
则
∣
f
(
x
)
∣
在
点
x
0
也
连
续
；
由
于
连
续
函
数
的
和
、
差
仍
连
续
，
所
以
φ
(
x
)
、
ψ
(
x
)
在
点
x
0
也
连
续
φ(x)=max{f(x)，g(x)}=12[f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|]， ψ(x)=min{f(x)，g(x)}=12[f(x)+g(x)−|f(x)−g(x)|]。 因f(x)在点x0连续，则|f(x)|在点x0也连续；由于连续函数的和、差仍连续，所以φ(x)、ψ(x)在点x0也连续
(
1
)
lim
x
→
0
x
2
−
2
x
+
5
；
(
2
)
lim
α
→
π
4
(
s
i
n
2
α
)
3
；
(
3
)
lim
x
→
π
6
l
n
(
2
c
o
s
2
x
)
；
(
4
)
lim
x
→
0
x
+
1
−
1
x
；
(
5
)
lim
x
→
1
5
x
−
4
−
x
x
−
1
；
(
6
)
lim
x
→
α
s
i
n
x
−
s
i
n
α
x
−
α
；
(
7
)
lim
x
→
+
∞
(
x
2
+
x
−
x
2
−
x
)
；
(
8
)
lim
x
→
0
(
1
−
1
2
x
2
)
2
3
−
1
x
l
n
(
1
+
x
)
(1) limx→0√x2−2x+5； (2) limα→π4(sin 2α)3； (3) limx→π6ln(2cos 2x)； (4) limx→0√x+1−1x； (5) limx→1√5x−4−√xx−1； (6) limx→αsin x−sin αx−α； (7) limx→+∞(√x2+x−√x2−x)； (8) limx→0(1−12x2)23−1x ln(1+x)
(
1
)
lim
x
→
0
x
2
−
2
x
+
5
=
lim
x
→
0
(
x
2
−
2
x
+
5
)
=
5
(
2
)
lim
α
→
π
4
(
s
i
n
2
α
)
3
=
(
lim
α
→
π
4
s
i
n
2
α
)
3
=
(
s
i
n
π
2
)
3
=
1
(
3
)
lim
x
→
π
6
l
n
(
2
c
o
s
2
x
)
=
l
n
(
lim
x
→
π
6
2
c
o
s
2
x
)
=
l
n
(
2
c
o
s
π
3
)
=
l
n
1
=
0
(
4
)
lim
x
→
0
x
+
1
−
1
x
=
lim
x
→
0
x
+
1
−
1
(
x
+
1
+
1
)
(
x
+
1
−
1
)
=
lim
x
→
0
1
x
+
1
+
1
=
1
2
(
5
)
lim
x
→
1
5
x
−
4
−
x
x
−
1
=
lim
x
→
1
(
5
x
−
4
−
x
)
(
5
x
−
4
+
x
)
(
x
−
1
)
(
5
x
−
4
+
x
)
=
lim
x
→
1
(
−
x
2
−
5
x
+
4
(
x
−
1
)
(
5
x
−
4
+
x
)
)
=
lim
x
→
1
(
−
x
−
4
5
x
−
4
+
x
)
=
3
2
(
6
)
lim
x
→
α
s
i
n
x
−
s
i
n
α
x
−
α
=
lim
x
→
α
2
s
i
n
x
−
α
2
c
o
s
x
+
α
2
x
−
α
=
lim
x
→
α
s
i
n
x
−
α
2
x
−
α
2
⋅
lim
x
→
α
c
o
s
x
+
α
2
=
c
o
s
α
(
7
)
lim
x
→
+
∞
(
x
2
+
x
−
x
2
−
x
)
=
lim
x
→
+
∞
2
x
x
2
+
x
+
x
2
−
x
=
lim
x
→
+
∞
2
1
+
1
x
+
1
−
1
x
=
1
(
8
)
lim
x
→
0
(
1
−
1
2
x
2
)
2
3
−
1
x
l
n
(
1
+
x
)
=
lim
x
→
0
2
3
⋅
(
−
1
2
x
2
)
x
⋅
x
=
−
1
3
(1) limx→0√x2−2x+5=√limx→0(x2−2x+5)=√5 (2) limα→π4(sin 2α)3=(limα→π4sin 2α)3=(sin π2)3=1 (3) limx→π6ln(2cos 2x)=ln(limx→π62cos 2x)=ln(2cos π3)=ln1=0 (4) limx→0√x+1−1x=limx→0√x+1−1(√x+1+1)(√x+1−1)=limx→01√x+1+1=12 (5) limx→1√5x−4−√xx−1=limx→1(√5x−4−√x)(√5x−4+√x)(x−1)(√5x−4+√x)=limx→1(−x2−5x+4(x−1)(√5x−4+√x))= limx→1(−x−4√5x−4+√x)=32 (6) limx→αsin x−sin αx−α=limx→α2sin x−α2cos x+α2x−α=limx→αsin x−α2x−α2⋅limx→αcos x+α2=cos α (7) limx→+∞(√x2+x−√x2−x)=limx→+∞2x√x2+x+√x2−x=limx→+∞2√1+1x+√1−1x=1 (8) limx→0(1−12x2)23−1x ln(1+x)=limx→023⋅(−12x2)x⋅x=−13
(
1
)
lim
x
→
∞
e
1
x
；
(
2
)
lim
x
→
0
l
n
s
i
n
x
x
；
(
3
)
lim
x
→
∞
(
1
+
1
x
)
x
2
；
(
4
)
lim
x
→
0
(
1
+
3
t
a
n
2
x
)
c
o
t
2
x
；
(
5
)
lim
x
→
∞
(
3
+
x
6
+
x
)
x
−
1
2
；
(
6
)
lim
x
→
0
1
+
t
a
n
x
−
1
+
s
i
n
x
x
1
+
s
i
n
2
x
−
x
；
(
7
)
lim
x
→
e
l
n
x
−
1
x
−
e
；
(
8
)
lim
x
→
0
e
3
x
−
e
2
x
−
e
x
+
1
(
1
−
x
)
(
1
+
x
)
3
−
1
(1) limx→∞e1x； (2) limx→0lnsin xx； (3) limx→∞(1+1x)x2； (4) limx→0(1+3tan2 x)cot2 x； (5) limx→∞(3+x6+x)x−12； (6) limx→0√1+tan x−√1+sin xx√1+sin2 x−x； (7) limx→eln x−1x−e； (8) limx→0e3x−e2x−ex+13√(1−x)(1+x)−1
(
1
)
lim
x
→
∞
e
1
x
=
e
lim
x
→
∞
1
x
=
e
0
=
1
(
2
)
lim
x
→
0
l
n
s
i
n
x
x
=
l
n
(
lim
x
→
0
s
i
n
x
x
)
=
l
n
1
=
0
(
3
)
lim
x
→
∞
(
1
+
1
x
)
x
2
=
lim
x
→
∞
[
(
1
+
1
x
)
x
]
1
2
=
e
1
2
=
e
(
4
)
lim
x
→
0
(
1
+
3
t
a
n
2
x
)
c
o
t
2
x
=
lim
x
→
0
[
(
1
+
3
t
a
n
2
x
)
1
3
c
o
t
2
x
]
3
=
e
3
(
5
)
lim
x
→
∞
(
3
+
x
6
+
x
)
x
−
1
2
=
lim
x
→
∞
[
(
1
−
3
6
+
x
)
−
6
+
x
3
]
−
3
2
⋅
lim
x
→
∞
(
1
−
3
6
+
x
)
−
7
2
=
e
−
3
2
(
6
)
lim
x
→
0
1
+
t
a
n
x
−
1
+
s
i
n
x
x
1
+
s
i
n
2
x
−
x
=
lim
x
→
0
t
a
n
x
−
s
i
n
x
x
(
1
+
s
i
n
2
x
−
1
)
(
1
+
t
a
n
x
+
1
+
s
i
n
x
)
=
lim
x
→
0
(
s
i
n
x
x
⋅
s
e
c
x
−
1
1
+
s
i
n
2
x
−
1
⋅
1
1
+
t
a
n
x
+
1
+
s
i
n
x
)
=
lim
x
→
0
s
i
n
x
x
⋅
lim
x
→
0
1
2
x
2
1
2
s
i
n
2
x
⋅
lim
x
→
0
1
1
+
t
a
n
x
+
1
+
s
i
n
x
=
1
2
(
7
)
令
t
=
x
−
e
，
则
x
=
t
+
e
，
当
x
→
e
时
，
t
→
0
，
lim
x
→
e
l
n
x
−
1
x
−
e
=
lim
t
→
0
l
n
(
t
+
e
)
−
l
n
e
t
=
lim
t
→
0
l
n
(
1
+
t
e
)
t
=
1
e
(
8
)
lim
x
→
0
e
3
x
−
e
2
x
−
e
x
+
1
(
1
−
x
)
(
1
+
x
)
3
−
1
=
lim
x
→
0
(
e
2
x
−
1
)
(
e
x
−
1
)
(
1
−
x
2
)
1
3
−
1
=
lim
x
→
0
2
x
⋅
x
−
1
3
x
2
=
−
6
(1) limx→∞e1x=elimx→∞1x=e0=1 (2) limx→0lnsin xx=ln(limx→0sin xx)=ln1=0 (3) limx→∞(1+1x)x2=limx→∞[(1+1x)x]12=e12=√e (4) limx→0(1+3tan2 x)cot2 x=limx→0[(1+3tan2 x)13cot2 x]3=e3 (5) limx→∞(3+x6+x)x−12=limx→∞[(1−36+x)−6+x3]−32⋅limx→∞(1−36+x)−72=e−32 (6) limx→0√1+tan x−√1+sin xx√1+sin2 x−x=limx→0tan x−sin xx(√1+sin2 x−1)(√1+tan x+√1+sin x)= limx→0(sin xx⋅sec x−1√1+sin2 x−1⋅1√1+tan x+√1+sin x)= limx→0sin xx⋅limx→012x212sin2 x⋅limx→01√1+tan x+√1+sin x=12 (7) 令t=x−e，则x=t+e，当x→e时，t→0，limx→eln x−1x−e=limt→0ln(t+e)−ln et=limt→0ln(1+te)t=1e (8) limx→0e3x−e2x−ex+13√(1−x)(1+x)−1=limx→0(e2x−1)(ex−1)(1−x2)13−1=limx→02x⋅x−13x2=−6
(
1
)
φ
[
f
(
x
)
]
必
有
间
断
点
；
(
2
)
[
φ
(
x
)
]
2
必
有
间
断
点
；
(
3
)
f
[
φ
(
x
)
]
未
必
有
间
断
点
；
(
4
)
φ
(
x
)
f
(
x
)
必
有
间
断
点
(1) φ[f(x)]必有间断点； (2) [φ(x)]2必有间断点； (3) f[φ(x)]未必有间断点； (4) φ(x)f(x)必有间断点
(
1
)
错
的
，
φ
(
x
)
=
s
g
n
x
，
f
(
x
)
=
e
x
，
φ
[
f
(
x
)
]
≡
1
在
R
上
连
续
(
2
)
错
的
，
φ
(
x
)
=
{
1
，
x
∈
Q
，
−
1
，
x
∈
R
\
Q
，
[
φ
(
x
)
]
2
≡
1
在
R
上
连
续
(
3
)
对
的
，
φ
(
x
)
=
{
1
，
x
∈
Q
，
−
1
，
x
∈
R
\
Q
，
f
(
x
)
=
∣
x
∣
+
1
，
f
[
φ
(
x
)
]
≡
2
在
R
上
连
续
(
4
)
对
的
，
如
果
F
(
x
)
=
φ
(
x
)
f
(
x
)
在
R
上
连
续
，
则
φ
(
x
)
=
F
(
x
)
⋅
f
(
x
)
也
在
R
上
连
续
，
与
已
知
矛
盾
(1) 错的，φ(x)=sgn x，f(x)=ex，φ[f(x)]≡1在R上连续 (2) 错的，φ(x)={1， x∈Q，−1，x∈R\Q，[φ(x)]2≡1在R上连续 (3) 对的，φ(x)={1， x∈Q，−1，x∈R\Q，f(x)=|x|+1，f[φ(x)]≡2在R上连续 (4) 对的，如果F(x)=φ(x)f(x)在R上连续，则φ(x)=F(x)⋅f(x)也在R上连续，与已知矛盾
由
于
初
等
函
数
的
连
续
性
，
f
(
x
)
在
(
−
∞
，
0
)
和
(
0
，
+
∞
)
内
连
续
，
所
以
要
使
f
(
x
)
在
(
−
∞
，
+
∞
)
内
连
续
，
只
要
选
择
数
α
，
使
f
(
x
)
在
x
=
0
处
连
续
即
可
。
在
x
=
0
处
，
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
0
−
e
x
=
1
，
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
lim
x
→
0
+
(
α
+
x
)
=
α
，
f
(
0
)
=
α
，
取
α
=
1
，
则
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
f
(
0
)
=
1
，
所
以
取
α
=
1
，
f
(
x
)
就
成
为
在
(
−
∞
，
+
∞
)
内
的
连
续
函
数
由于初等函数的连续性，f(x)在(−∞，0)和(0，+∞)内连续，所以要使f(x)在(−∞，+∞)内连续， 只要选择数α，使f(x)在x=0处连续即可。 在x=0处，limx→0−f(x)=limx→0−ex=1，limx→0+f(x)=limx→0+(α+x)=α，f(0)=α， 取α=1，则limx→0−f(x)=limx→0+f(x)=f(0)=1，所以取α=1，f(x)就成为在(−∞，+∞)内的连续函数