简洁是智慧的灵魂，冗长是肤浅的藻饰。——莎士比亚《哈姆雷特》
1 PuLP 库的安装
如果您使用的是 Anaconda[1] 的话（事实上我也更推荐这样做），需要先激活你想要安装的虚拟环境，之后在 Prompt 输入
pip install pulp
不出意外的话等一会就安装完毕。
2 线性规划简介
想必大家能点开这篇文章一定都知道线性规划是什么意思吧……那么我用两个例子再简单说一下。
2.1 线性规划
2.1.1 题目描述[2]
若变量 x,y 满足约束条件：
求 z=3x+y 的最大值。
2.1.2 基本概念
首先，我们要认清在这道题中，x 和 y 是可以变的，所以把它们叫做决策变量。三个不等式叫做约束条件，即 x 和 y 必须同时满足这三个不等式。我们若画出图来：
其中不满足约束条件的区域被我标上了颜色，所以 x,y 可以取得值只能在纯白区域内，这一片区域称作可行域。
再看最后的我们的目标：求 z=x+3y 的最大值。
于是 z=x+3y 就被称作目标函数，我们的工作就是求这个目标函数的最大值。
整个问题描述为：
然后怎么算？别急我们再看一个例子。
2.2 整数规划
2.2.1 题目描述[3]
汽车厂生产小、中、大三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求以及利润如下表所示。要求每月的钢材消耗不超过 600 t，总劳动时间不超过 60 000 h。试指定生产计划使得工厂每月的利润最大。
| 小型车 | 中型车 | 大型车 | |
|---|---|---|---|
| 钢材 / t | 1.5 | 3 | 5 |
| 劳动时间 / h | 280 | 250 | 400 |
| 利润 / 万元 | 2 | 3 | 4 |
2.2.2 解题思路
首先，设三个决策变量，用 x1,x2,x3 分别表示生产小型车、中型车、大型车的数量，但是注意要满足：
- 车的数量只能是整数；
- 车的数量大于等于 0。
其他约束条件看题直接列：
最后写出目标函数：
综合起来整个问题描述为：
另外可以看出这个题由于涉及到三个决策变量，可行域是相当抽象的，这里就不画了 hhh~
3 求解过程
首先在最前面引入所需的pulp工具库：
import pulp as pl
这句话是引入 pulp 库并简写为 pl，一个 python 库只有在开始 import 了之后才能在后面使用。这样后面凡是用到 pulp 的功能都要写成 pl.xxx。
接下来是以下几个步骤：
- 定义模型
- 定义决策变量
- 添加约束条件
- 添加目标函数
- 模型求解
- 打印结果
3.1 定义模型
# Define the model model = pl.LpProblem(name="My-Model", sense=pl.LpMaximize)
这个操作是使用 pl.LpProblem 创建了一个模型并赋值给变量 model，接收两个参数：
name：模型的名字，随便起一个；sense：模型的类型，pl.LpMinimize是求目标函数的最小值，pl.LpMaximize是求最大值
3.2 定义决策变量
# Define the decision variables x = pl.LpVariable(name='x') y = pl.LpVariable(name='y')
如果你的变量比较少的话可以简单这么写。这个意思是定义了两个浮点数变量，取值范围是整个实数域。注意等号左边的变量才是你在之后的计算式中使用的符号，而参数 name 只有在最后打印结果的时候才会被打印出来。另外如果你对变量有其他要求的话可以添加以下参数：
lowBound：变量的最小取值（不写的话默认负无穷）；upBound：变量的最大取值（默认正无穷）；cat：变量的类型，有pl.Binary逻辑变量、pl.Integer整数、pl.Continuous实数（默认值）；
如果你的变量比较多而不得不用 1, 2, 3…… 来编号，可以采用类似这样的写法：
# Define the decision variables x = {i: pl.LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0, cat=pl.LpInteger) for i in range(1, 9)}
这是一次定义 8 个变量并保存在一个类似数组的结构中，变量都是正整数，分别用 x[1], x[2], ..., x[8] 表示，依次命名为 x1, x2,..., x8。
注意
range(left, right)表示的区间是左闭右开。
3.3 添加约束条件
# Add constraints model += (2 * x + 3 * y - 6 >= 0, "constrain_1") model += (x + 3 * y - 3 == 0, "constrain_2")
没错！如你所见就是这么简单，括号里第一个变量就是你的约束不等式或等式，第二个变量是你的自定义的约束名（可以起一个有意义的名字，当然也可以省略）。
由于一些比较数学的原因，约束条件里是不能使用大于号“>”或小于号“<”的。
如果你像前面一样把变量定义在了数组中，那么可以直接用方括号调用：
model += (2 * x[1] + 3 * x[2] - 6 >= 0)
3.4 添加目标函数
# Set the objective model += x + 3 * y
与前面添加约束条件不同，添加目标函数这一步不用加最外层的括号。
3.5 模型求解
# Solve the optimization problem status = model.solve()
就写这一句话，调用 model 的 solve() 方法，并把结果保存在 status 中。
3.4 打印结果
# Get the results print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus[model.status]}") print(f"objective: {model.objective.value()}") for var in model.variables(): print(f"{var.name}: {var.value()}") for name, constraint in model.constraints.items(): print(f"{name}: {constraint.value()}")
然后你就能看到模型求解的结果了。
4 示例代码
4.1 高考题代码
首先解决一下 3.1 的高考题：
import pulp as pl # 定义一个模型，命名为 "Model_3.1"，求最大值 model = pl.LpProblem(name="Model_3.1", sense=pl.LpMaximize) # 定义两个决策变量，取值为整个实数域 x = pl.LpVariable(name='x') y = pl.LpVariable(name='y') # 添加三个约束条件 model += (2 * x + 3 * y - 6 >= 0) model += (x + y - 3 <= 0) model += (y - 2 <= 0) # 目标函数 model += x + 3 * y # 求解 status = model.solve() # 打印结果 print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus[model.status]}") print(f"objective: {model.objective.value()}") for var in model.variables(): print(f"{var.name}: {var.value()}") for name, constraint in model.constraints.items(): print(f"{name}: {constraint.value()}")
查看结果的最后几行：
status: 1, Optimal objective: 7.0 x: 1.0 y: 2.0 _C1: 2.0 _C2: 0.0 _C3: 0.0
最大值是 7.0，在 x=1.0,y=2.0 时取到。
4.2 汽车厂代码
import pulp as pl # 定义一个模型，命名为 "Model_3.2"，求最大值 model = pl.LpProblem(name="Model_3.2", sense=pl.LpMaximize) # 定义三个决策变量，取值正整数 x = {i: pl.LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0, cat=pl.LpInteger) for i in range(1, 4)} # 添加约束条件 model += (1.5 * x[1] + 3 * x[2] + 5 * x[3] <= 600) model += (280 * x[1] + 250 * x[2] + 400 * x[3] <= 60000) # 目标函数 model += 2 * x[1] + 3 * x[2] + 4 * x[3] # 求解 status = model.solve() # 打印结果 print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus[model.status]}") print(f"objective: {model.objective.value()}") for var in model.variables(): print(f"{var.name}: {var.value()}") for name, constraint in model.constraints.items(): print(f"{name}: {constraint.value()}")
查看结果的最后几行：
status: 1, Optimal objective: 632.0 x1: 64.0 x2: 168.0 x3: 0.0 _C1: 0.0 _C2: -80.0
三种车的产量分别取 64、168、0，最大收益 632 万元。