图论篇--代码随想录算法训练营第五十八天打卡|拓扑排序，dijkstra（朴素版），dijkstra（堆优化版）精讲

拓扑排序

题目链接：117. 软件构建

题目描述：

某个大型软件项目的构建系统拥有 N 个文件，文件编号从 0 到 N - 1，在这些文件中，某些文件依赖于其他文件的内容，这意味着如果文件 A 依赖于文件 B，则必须在处理文件 A 之前处理文件 B （0 <= A, B <= N - 1）。请编写一个算法，用于确定文件处理的顺序。

算法思路：

拓扑排序：给出一个 有向图，把这个有向图转成线性的排序 

拓扑排序的过程：

1. 找到入度为0 的节点，加入结果集
2. 将该节点从图中移除

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int main() {
    int m, n, s, t;
    cin >> n >> m;
    vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度
 
    unordered_map<int, vector<int>> umap;// 记录文件依赖关系
    vector<int> result; // 记录结果
 
    while (m--) {
        // s->t，先有s才能有t
        cin >> s >> t;
        inDegree[t]++; // t的入度加一
        umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
    }
    queue<int> que;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 入度为0的文件，可以作为开头，先加入队列
        if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
        //cout << inDegree[i] << endl;
    }
    // int count = 0;
    while (que.size()) {
        int  cur = que.front(); // 当前选中的文件
        que.pop();
        //count++;
        result.push_back(cur);
        vector<int> files = umap[cur]; //获取该文件指向的文件
        if (files.size()) { // cur有后续文件
            for (int i = 0; i < files.size(); i++) {
                inDegree[files[i]] --; // cur的指向的文件入度-1
                if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]);
            }
        }
    }
    if (result.size() == n) {
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) cout << result[i] << " ";
        cout << result[n - 1];
    } else cout << -1 << endl;
 
 
}

dijkstra（朴素版）

题目链接：47. 参加科学大会（第六期模拟笔试）

题目描述：

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。

小明的起点是第一个车站，终点是最后一个车站。然而，途中的各个车站之间的道路状况、交通拥堵程度以及可能的自然因素（如天气变化）等不同，这些因素都会影响每条路径的通行时间。

小明希望能选择一条花费时间最少的路线，以确保他能够尽快到达目的地。

算法思路：

dijkstra算法：在有权图（权值非负数）中求从起点到其他节点的最短路径算法。

需要注意两点：

• dijkstra 算法可以同时求 起点到所有节点的最短路径
• 权值不能为负数

dijkstra三部曲：

1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
2. 第二步，该最近节点被标记访问过
3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）

minDist数组 用来记录 每一个节点距离源点的最小距离。

代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;
 
    vectorint>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid[p1][p2] = val;
    }
 
    int start = 1;
    int end = n;
 
    // 存储从源点到每个节点的最短距离
    std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);
 
    // 记录顶点是否被访问过
    std::vector<bool> visited(n + 1, false);
 
    minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0
 
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历所有节点
 
        int minVal = INT_MAX;
        int cur = 1;
 
        // 1、选距离源点最近且未访问过的节点
        for (int v = 1; v <= n; ++v) {
            if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
                minVal = minDist[v];
                cur = v;
            }
        }
 
        visited[cur] = true;  // 2、标记该节点已被访问
 
        // 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
                minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
            }
        }
 
    }
 
    if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
    else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
 
}

dijkstra（堆优化版）精讲

算法思路： 

朴素版考虑点，堆优化版考虑边（类似于prim和kruskal算法）

1、使用邻接表存图信息<节点，权值>

2、dijkstra 三部曲：

1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过-->使用一个 小顶堆 来帮我们对边的权值排序，每次从小顶堆堆顶 取边就是权值最小的边。
2. 第二步，该最近节点被标记访问过。-->同朴素版
3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）-->遍历该节点在邻接表中所指向的一系列节点，若之前为访问过，则入堆。