算法 —— 前缀和

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【模板】一维前缀和

【模板】二维前缀和

寻找数组的中心下标

除⾃⾝以外数组的乘积

矩阵区域和

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【模板】一维前缀和

如果我们用暴力解法，每次都要遍历一遍数组，一共遍历q次，这样时间复杂度太高，这时候我们构造一个前缀和数组，将1 - n区间内各区间的和存入进去，需要前n项和直接访问dp前缀和数组的下标位置即可。代码如下：

#include
#include
using namespace std;
 
int main()
{
	// 读入数据
	int n, q; cin >> n >> q;
	// n + 1 添加了虚拟节点0
	vector<int> arr(n + 1); // 默认全部为0
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> arr[i];
 
	// 预处理出一个前缀和数组
	vector<long long> dp(n + 1); // 防止溢出
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
 
	// 使用前缀和数组
	int l = 0, r = 0;
	while (q--)
	{
		cin >> l >> r;
		cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;
	}
	return 0;
}

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【模板】二维前缀和

预处理一个前缀和矩阵，将（1，1）到（i，j）位置的所有元素和存在这个dp数组中，通过面积计算方法，求出最终答案，代码如下： 

int main()
{
	// 读入数据
	int n, m, q; cin >> n >> m >> q;
	vectorint>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1));
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			cin >> arr[i][j];
 
	// 预处理一个前缀和数组
	vectorlong long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1)); // 防止溢出
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];
 
	// 使用前缀和数组
	while (q--)
	{
		int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
		cout << dp[x2][y2] - dp[x2][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
	}
	return 0;
}

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寻找数组的中心下标

 注意边界情况，此处不需要开n+1个空间的前缀和数组，因为原数组中有一个元素要作为本题的中心下标，代码如下：

class Solution {
public:
	int pivotIndex(vector<int>& nums) {
		int n = nums.size();
		vector<int> f(n), g(n);
		// 预处理前缀和数组  从左向右
		for (int i = 1; i < n; i++)
			f[i] = f[i - 1] + nums[i - 1];
		// 预处理后缀和数组  从右向左
		for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
			g[i] = g[i + 1] + nums[i + 1];
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			if (g[i] == f[i])
				return i;
		}
		return -1;
	}
};

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除⾃⾝以外数组的乘积

和上题意思类似，不过要注意的是，边界情况f(0)和g(n-1)要初始化为1而不是0，代码如下：

class Solution {
public:
	vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
		int n = nums.size();
		vector<int> f(n), g(n), ret(n);
		// 处理边界情况
		f[0] = 1; g[n - 1] = 1;
		// 预处理前缀积数组  从左向右
		for (int i = 1; i < n; i++)
			f[i] = f[i - 1] * nums[i - 1];
		// 预处理后缀积数组  从右向左
		for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
			g[i] = g[i + 1] * nums[i + 1];
		for (int i = 0; i < n; i++)
			ret[i] = f[i] * g[i];
		return ret;
	}
};

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矩阵区域和

 注意：二维前缀和数组要多开一行一列，否则会产生越界访问，此外dp数组和ans数组之间需要调整下标才能匹配位置，ans[ 0 ][ 0 ]对应的是dp [ 1 ][ 1 ]这个位置。代码如下：

class Solution {
public:
	vectorint>> matrixBlockSum(vectorint>>& mat, int k) {
		int m = mat.size(), n = mat[0].size();  // m 为行 n 为列
		// 预处理一个二维前缀和数组 dp
		vectorint>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			for (int j = 1; j <= n; j++)
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + mat[i - 1][j - 1] - dp[i - 1][j - 1];
		// 存放答案的二维数组 ans
		vectorint>> ans(m, vector<int>(n));
		for (int i = 0; i < m; i++)
		{
			for (int j = 0; j < n; j++)
			{
				int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1;
				int x2 = min(m - 1, i + k) + 1, y2 = min(n - 1, j + k) + 1;
				ans[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
			}
		}
		return ans;
	}
};