在数学中，线性代数提供了一套强大的工具来解决各种实际问题。本文将介绍从二元一次方程组开始，如何利用二阶行列式和克拉默法则来求解问题。
二元一次方程组指包含两个变量的一次方程组，通常形如：
{
3
x
+
4
y
=
5
7
x
+
9
y
=
11
这里，3、4、7、9、5 和 11 是已知的常数，(x) 和 (y) 是需要求解的未知数。
解决这种方程组的一种基本方法是消元法。通过适当的操作消去一个变量，简化成一个关于单个变量的方程。让我们详细说明这个过程。
首先，我们将两个方程进行变形，以便消去一个变量。
原方程组：
{
3
x
+
4
y
=
5
7
x
+
9
y
=
11
为了消去一个变量，我们将第一个方程和第二个方程进行适当的变换。假设我们希望消去 (x)，我们可以进行如下操作：
将第一个方程乘以 7：
将第二个方程乘以 3：
{
7
⋅
3
x
+
7
⋅
4
y
=
7
⋅
5
3
⋅
7
x
+
3
⋅
9
y
=
3
⋅
11
两式相减，求得 y 的值
y
=
7
⋅
5
−
3
⋅
11
7
⋅
4
−
3
⋅
9
y=\frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 11}{7 \cdot 4 - 3 \cdot 9}
y=7⋅4−3⋅97⋅5−3⋅11
现在我们就想，把分子分母换成行列式写法，由此就引入了二阶行列式的写法，上面的式子可以写为这样
y
=
∣
7
3
11
5
∣
∣
7
3
9
4
∣
y = \frac{
最后求得 x 和 y 的值：
y = 2 x = − 1 y = 2 \\ x = -1 y=2x=−1
在上面的步骤中，我们进行了方程变换和变量消去，实际上可以使用行列式的方法来简化这些步骤。
行列式是一种代数表达式，用于求解线性方程组。二阶行列式定义如下：
∣
a
b
c
d
∣
=
a
d
−
b
c
对于矩阵
(
3
4
7
9
)
其行列式为：
∣
3
4
7
9
∣
=
3
⋅
9
−
4
⋅
7
=
27
−
28
=
−
1
克拉默法则是一种利用行列式解决线性方程组的方法。对于一个二元一次方程组：
{
3
x
+
4
y
=
5
7
x
+
9
y
=
11
它可以表示成矩阵形式 (AX = B)，其中：
A
=
(
3
4
7
9
)
,
X
=
(
x
y
)
,
B
=
(
5
11
)
A =
克拉默法则提供了求解线性方程组的公式。可以很方便的解出 (x) 和 (y)，注意分母都是一样的：
(x)的分子相当于用 (B)替换了 (A)第一列， (y)的分子相当于用 (B)替换了 (A)第二列，
x
=
∣
5
4
11
9
∣
∣
3
4
7
9
∣
,
y
=
∣
3
5
7
11
∣
∣
3
4
7
9
∣
x = \frac{
∣
3
4
7
9
∣
=
3
⋅
9
−
4
⋅
7
=
−
1
∣
5
4
11
9
∣
=
5
⋅
9
−
4
⋅
11
=
45
−
44
=
1
∣
3
5
7
11
∣
=
3
⋅
11
−
5
⋅
7
=
33
−
35
=
−
2
x = 1 − 1 = − 1 x = \frac{1}{-1} = -1 x=−11=−1
y = − 2 − 1 = 2 y = \frac{-2}{-1} = 2 y=−1−2=2
也是类似的，用三元一次方程组举例，四元、五元、十元等等类似：
{
2
x
+
3
y
−
z
=
5
4
x
−
y
+
2
z
=
6
3
x
+
2
y
+
z
=
7
将其表示为矩阵形式 (AX = B)，其中：
A
=
(
2
3
−
1
4
−
1
2
3
2
1
)
,
X
=
(
x
y
z
)
,
B
=
(
5
6
7
)
A =
用 B 替换 A 的第一列：
x
=
∣
5
3
−
1
6
−
1
2
7
2
1
∣
∣
2
3
−
1
4
−
1
2
3
2
1
∣
=
4
3
x =\frac {
高阶行列式的计算可以使用余子式，按行或列展开计算，本文不再赘述。
用 B 替换 A 的第二列：
y
=
∣
2
5
−
1
4
6
2
3
7
1
∣
∣
2
3
−
1
4
−
1
2
3
2
1
∣
=
16
15
y =\frac {
用 B 替换 A 的第三列：
z
=
∣
2
3
5
4
−
1
6
3
2
7
∣
∣
2
3
−
1
4
−
1
2
3
2
1
∣
=
13
15
z = \frac {
例如，三个未知数，三个方程。
系数矩阵必须是n×n 的矩阵（简称方阵）。如果不是方阵，克拉默法则不能应用。同样行列式计算的结果为零时也不适用。
比如二元一次方程、三元一次方程才适用，不能是二元二次方程，因为已经是平方了，不是线性了。
本文我们从二元一次方程组的基本求解方法开始，逐步引入了行列式，并最终介绍了克拉默法则。在实际应用中，使用行列式和克拉默法则可以简化计算过程，使得解决线性方程组更加直观和有效。