【图像处理与机器视觉】灰度变化与空间滤波

基础

空间域与变换域

空间域：认为是图像本身，对于空间域的操作就是对图像中的像素直接进行修改
变换域：变换系数处理，不直接对于图像的像素进行处理

邻域

图像中某点的邻域被认为是包含该点的小区域，也被称为窗口

空间滤波

邻域选择空间域中的一小块区域，对于邻域中的像素运用算子T，并在该位置产生一个输出；随后将邻域的原点移动到下一个位置，并且重复前面的过程，生成下一个位置的值，当邻域的大小为1*1的时候，输出像素只取决于输入像素，而与周边像素无关

灰度变换函数

（1）反转变换：s = （L-1） - r
r为输入图像像素，s为输出图像像素，[0,L-1]为图像的灰度集
作用：使黑白反转
（2）对数变换：$s=c\log (1+r)$
c为常数，r>=0，使用对数变换可以让原图的灰度进行压缩，避免超出设备的限制，如图所示，将较低的灰度提高到了中间，同理还有其他变换函数也能起到相同或者相反的作用

（3）幂变换：$s=c\cdot r^{\gamma }$
gamma小于1的时候，提高了灰度级，gamma大于1时，降低了灰度级
（记住图片就好）

直方图处理（重要）

对于一个灰度级范围为[0,L-1]的数字图像，其直方图表示为$h(r_k)=n_k$，其中rk代表着第k级灰度，nk是图像中处在该灰度级的像素个数
归一化：$p(r_k)=h(r_k)/MN$
p是灰度级在图像中出现的概率估计，所有分量加起来之和为1

从左至右分别为暗图片，两图片，低对比度图片，高对比度图片

直方图均衡

目的就是将聚集在一起的灰度值变得“平坦”得分布在所有灰度级上，从最终结果上来说可以认为增加了对比度，同时将过亮或者过暗的图片调整正常。
这里我们不对于直方图均衡的具体原理进行细究，如想了解清楚请查看此处：直方图均衡化原理
理想情况下，均衡后的连续函数会使所有灰度级的概率密度全部相等

以下为实际遇到时的处理：
（这里也可以跳转我之前做过的直方图均衡/匹配实验，内含matlab代码：https://blog.csdn.net/weixin_46876169/article/details/137008120?spm=1001.2014.3001.5501）
e.g.一幅图大小为64*64，其灰度级范围为[0，7]，归一化的灰度分布如下表所示：

直方图均衡变换函数为：$s_k=T(r_k)=(L-1)\sum _{j=0}^k{p}_r(r_j)$
可以计算得到：$s_0=7\times p_r(r_0)=7\cdot 0.19=1.33$，$s_1=7p_r(r_0)+7p_r(r_1)=3.08$，同样有s2=4.55，s3=5.67，s4=6.23，s5=6.65，s6=6.86，s7=7.00
将这些小数进行取整到最近的整数：

通过这一组式子，我们可以得到映射关系，原本灰度级为0的像素映射到1,灰度级为1的像素映射到3，其他类似

我们可以发现，均衡后的直方图在亮度上整体有了提高，同时尽可能均匀的平铺在所有灰度级中

直方图匹配

有时候直方图均衡处理完的图片并不满足我们需要的效果，比如对于上图我们只想提高亮度，而不想提高其对比度，那么通过直方图均衡这样的方法就没法做到。此时我们可以选取一张我们希望的亮度与对比度的图片，使用直方图匹配的方法来将原直方图变为我们需要的样子。
这里我们仍然忽略繁杂的理论推导，直接来看一看具体的例子，假设变换对象仍然为原来的图片，新的参考图的直方图给在了图中：

（1）对于原图与参考图均进行直方图均衡：


将s的值与G（z）的值相对应，每个s取最接近的G（z）值，当s离两个G（z）值一样接近时，取较小的那个，最终可以得到s对应z的映射，再加上原本r到s的映射，最终就能得到r到z的映射


如此就可以得到目标的直方图，需要注意的是，映射完后原图的直方图各灰度级概率密度并不与目标图完全一致，而是指分布一致

空间滤波

滤波是指通过或拒绝一定范围内的频率分量，例如能够通过低频分量的滤波器叫做低通滤波器，最终效果可以对一幅图片进行模糊处理。
根据执行的操作可以分为：线性空间滤波器和非线性空间滤波器去
对于一个窗口为3x3的滤波器，其输出为各位置上的系数与对应像素值的乘积之和
如果期望图像中的像素变化为以该像素为中心的3x3邻域的平均灰度，可以使用$R=\frac{1}{9}\sum _{i=1}^9{z}_i$

平滑空间滤波

平滑滤波用于模糊处理和降低噪声
模糊处理经常用于预处理任务，可以去除图像中的一些噪声

平滑线性滤波器

可以归入低通滤波器，主要作用是降低噪声，去除图像中的不相关细节，但也可能导致边缘模糊或者由于灰度级数量不足导致的伪轮廓

加权平均滤波：

非线性滤波器

统计排序滤波器是一种非线性滤波器，通过滤波器中包围的图像中所含像素的排序来决定中心像素的值
例如：中值滤波器，将滤波器内灰度的中值代替滤波器中心的值，此外除了取中值，还可以取最大值（最大值滤波器），最小值（最小值滤波器）
中值滤波器对于处理脉冲噪声（椒盐噪声）非常有效

锐化空间滤波器

对于一阶微分和二阶微分的定义：
一阶微分：（1）在恒定区域为0（2）在斜坡或台阶的起点处非0（3）在斜坡上非0
二阶微分：（1）在恒定区域为0（2）在台阶或斜坡的起点处非0（3）在斜坡上为0

使用拉普拉斯算子进行图像锐化

拉普拉斯算子是一种各向同性微分算子，这种滤波器的响应与其以何方向作用在图像上无关。
对于两个变量的拉普拉斯算子，
${\nabla }^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$
将其以离散的形式表述，我们就可以得到：

对于y也是同理：

故最终可以得到：

需要注意的是，拉普拉斯算子所产生的是一种滤波，可以认为是一种滤镜，和原图进行叠加才能起到相应的作用：

当拉普拉斯算子的中心常数为负时，c=-1，否则c=1