416. 分割等和子集
题目难易：中等
给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200
示例 1:
- 输入: [1, 5, 11, 5]
- 输出: true
- 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
示例 2:
- 输入: [1, 2, 3, 5]
- 输出: false
- 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.
提示：
- 1 <= nums.length <= 200
- 1 <= nums[i] <= 100
【思路】
这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。
动态规划五部曲：
1、确定dp数组及其下标的含义
01背包找那个，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。
本题中每一个元素的数组既是重量，也是价值。
套到本题，dp[j]表示背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。
那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满背包之后的重量，所以当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。
2、确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
3、dp数组如何初始化
在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，
从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。
代码如下：
//题中说：每个数组中的元素不会超过100，数组的大小不会超过200
//总和不会大于20000，背包最大只需要其中一般，所以10001大小就可以了
int[] dp = new dp[10001];
4、确定遍历顺序
如果使用一维dp数组，先遍历物品，在遍历背包。
代码如下：
//开始01背包
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for (int j = target; j >= nums[i]; j--) { //每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
5、举例推导dp数组
dp[j]的数值一定是小于等于j的。
如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。
完整代码如下：
class Solution {
public boolean canPartition(int[] nums) {
if(nums == null || nums.length == 0) return false;
int n = nums.length;
int sum = 0;
for(int num : nums) {
sum += num;
}
//总和为奇数，不能平分
if(sum % 2 != 0) return false;
int target = sum / 2;
int[] dp = new int[target + 1];
for(int i = 0; i < n; i++) { //先遍历物品
for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {
//物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
//剪枝一下，每一次完成内部的for-loop，立即检查是否dp[target] == target，优化时间复杂度（26ms -> 20ms）
if(dp[target] == target)
return true;
}
return dp[target] == target;
}
}
总结
这道题目就是一道01背包应用类的题目，需要我们拆解题目，然后套入01背包的场景。
01背包相对于本题，主要要理解，题目中物品是nums[i]，重量是nums[i]，价值也是nums[i]，背包体积是sum/2。
看代码的话，就可以发现，基本就是按照01背包的写法来的。