数据结构——二叉树

二叉树是编程中经常使用的一种数据结构，今天我们来学习一下二叉树。

二叉树的介绍：

二叉树如其名，就是有两个分岔树枝的树，如下图。每个节点下面都有两个及两个以下的节点，就被称为二叉树。

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 二叉树的概念:

在每一个节点中都会有一个节点指向该节点，指向该节点的节点称为父节点。其中若没有节点指向该节点，则称该节点为根节点。

若有某节点指向当前节点，则称有入度。若当前节点存在指向的节点，则称有出度。二叉树的入度的数量与其父结点的数量有关(最多为1)，二叉树的出度的数量与其子结点的数量有关(最多为2)。其中，入度与出度不可能小于0。

同时，每个节点都会指向两个及两个以下数量的节点，该节点指向的节点称为子节点，由于只有两个节点，他们也会被称为左节点和右节点或左孩子和右兄弟。

由于二叉树的性质，我们可以将二叉树看为一层一层的，通常将二叉树的层数称为高度。高度由上往下递增。二叉树每层最多只有个节点。

由于处于最高一层或次高层的部分节点没有子树，我们则将没有子树的节点称为叶子节点。

二叉树的遍历：

二叉树可以进行前序遍历、中序遍历、后序遍历及层序遍历。

前序遍历按照 根-左-右 的顺序进行遍历。

中序遍历按照 左-根-右 的顺序进行遍历。

后序遍历按照 左-右-根 的顺序进行遍历。

层序遍历按照层的从左到右的顺序进行遍历。

其中，若当前节点存在左右子节点，则会再次按照其遍历顺序进行遍历。

对于上图，其前序遍历是：A B D E C F G。

其中序遍历为：D B E A F C G

其后序遍历为：D E B F G C A

其层序遍历为：A B C D E F G

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二叉树的种类：

二叉树可分为完全二叉树、满二叉树、AVL树和红黑树等。其中AVL树及进阶二叉树将在后续数据结构中进行讲解。

完全二叉树是指高度为h，叶子结点只可能在最下面的两层上出现且第 h 层所有的结点都连续集中在最左边的二叉树。若该完全二叉树拥有N个节点，则其高度不会超过层。下图中的b就是一个完全二叉树。

满二叉树是指对于高度为h的二叉树，其节点个数为个。下图中的a就是一个标准的满二叉树。

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二叉树的特点：

在任意一颗二叉树中，若终端节点的个数为，度为2的节点数为，则=+1。

二叉树的代码实现：

接下来是基于C语言的实现二叉树的增删查改功能。

二叉树的数据结构定义：

二叉树的每个节点中都需要存储一个数据，并且存储其两个子树的地址。

typedef struct tree {
	int data;
	tree* bro, * kid;
}tree;

二叉树的初始化：

tree* Init_Tree(int val) {
	tree* p = (tree*)malloc(sizeof(tree));
	p->data = val;
	return p;
}

二叉树的销毁：

由于我们使用了malloc函数实现了内存分配，所以我们需要将每一个节点都使用free函数释放掉。

void Free(tree* p) {
	if (p == NULL) {
		return;
	}
	Free(p->bro);
	Free(p->kid);
	free(p);
	return;
}

二叉树的插入：

此处为随机往左右子树进行插入。

tree* Insert(tree* p, int val) {
	if (p == NULL) {
		return Init_Tree(val);
	}
	srand(time(0));
	if (rand() % 2 == 1) {
		p->kid = Insert(p->kid, val);
	}
	else {
		p->bro = Insert(p->bro, val);
	}
	return p;
}

二叉树的前序遍历：

void Tree_Preorder(vector<string>& arr, tree* root) {
	if (root == NULL) {
		arr.push_back("#");
	}
	arr.push_back(to_string(root->data));
	Tree_Preorder(arr, root->kid);
	Tree_Preorder(arr, root->bro);
	return;
}

二叉树的中序遍历：

void Tree_Inorder(vector<string>& arr, tree* root) {
	if (root == NULL) {
		arr.push_back("#");
	}
	Tree_Inorder(arr, root->kid);
	arr.push_back(to_string(root->data));
	Tree_Inorder(arr, root->bro);
	return;
}

二叉树的后序遍历：

void Tree_Postorder(vector<string>& arr, tree* root) {
	if (root == NULL) {
		arr.push_back("#");
	}
	Tree_Inorder(arr, root->kid);
	Tree_Inorder(arr, root->bro);
	arr.push_back(to_string(root->data));
	return;
}

二叉树的层序遍历(广度优先)：

二叉树也可以按层进行遍历，我们称其为层序遍历或广度优先。

在二叉树的层序遍历中，我们需要用到队列的数据结构(不懂队列的同学可以看看我之前写的队列和栈的博客->)。首先将根节点放入队列中，当队列不为空时，依次取出队列中的每一个节点并且将其弹出队，将每一个节点的左右子树都放入队列中，以此实现二叉树的层序遍历。

void Tree_Levelorder(tree* p) {
	if (p == NULL) {
		return;
	}
	int head = 0, tail = 0;
	queue[tail++] = p;
	while (head<tail){
		tree* now = queue[head++];
		if (now->kid) {
			queue[tail++] = now->kid;
		}
		if (now->bro) {
			queue[tail++] = now->bro;
		}
	}
	return;
}

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最后一个问题为什么是二叉呢？不是单叉、三叉或者是四叉及以上呢？如果你知道答案，可以把答案发在评论中和大家讨论一下。