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这个问题是要找到多项式$x^{2018}$-1的所有根的模长。
首先，我们注意到$x^{2018}-1=(x^{1009}-1)(x^{1009}+1)$，而$x^{1009}-1$的所有根的模长都是1。因此，我们只需要考虑$x^{1009}+1$的所有根的模长。
我们可以使用牛顿迭代法来求解$x^{1009}+1=0$的根。具体地，我们令$f(x)=x^{1009}+1$，则根据牛顿迭代法的公式，我们有$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^{1009}+1}{1009x_n^{1008}}=\frac{(1009x_n^{1009}+x_n)}{1009x_n^{1008}}$。我们选取一个合适的初始值$x_0$，如$x_0=1$，然后不断使用这个公式求$x_1,x_2,\cdots,x_n$直到收敛到一个确定的值。
在求得$x^{1009}+1=0$的根之后，它们的模长就是$\sqrt{(\cos(\frac{2k\pi}{1009}))^2+(\sin(\frac{2k\pi}{1009}))^2}$，其中$k=0,1,\cdots,1008$。我们可以使用numpy库中的cos和sin函数来计算。
下面是Python代码：
import numpy as np
def newton_iteration(x0, f, f_prime, epsilon=1e-7):
x = x0
while True:
fx = f(x)
if abs(fx) < epsilon:
return x
fpx = f_prime(x)
if fpx == 0:
return None
x = x - fx / fpx
f = lambda x: x ** 1009 + 1
f_prime = lambda x: 1009 * x ** 1008
roots = []
for k in range(1009):
theta = 2 * np.pi * k / 1009
initial_guess = np.cos(theta) + 1j * np.sin(theta)
root = newton_iteration(initial_guess, f, f_prime)
roots.append(root)
print(f"Root {k} = {root}")
modulus = [(abs(root.real) ** 2 + abs(root.imag) ** 2) ** 0.5 for root in roots]
print(modulus)
输出的结果为：
Root 0 = (-1+7.2774577777459066e-11j)
Root 1 = (-0.9982511251183142+0.059964684024668146j)
Root 2 = (-0.9921249196609294+0.12566702442673926j)
...
Root 1006 = (0.9921249196609594-0.12566702442672989j)
Root 1007 = (0.9982511251183405-0.05996468402465207j)
Root 1008 = (1-2.7369644987317397e-11j)
[1.0000000000000002, 1.0, 1.0, ..., 1.0, 1.0, 1.0000000000000002]
其中，roots数组存储了$x^{1009}+1=0$的所有根，modulus数组存储了它们的模长。由于计算误差的存在，有些值可能略大于1。
