【MATLAB第98期】基于MATLAB的MonteCarlo蒙特卡罗结合kriging克里金代理模型的全局敏感性分析模型（有目标函数）

【MATLAB第98期】基于MATLAB的Monte Carlo蒙特卡罗结合kriging克里金代理模型的全局敏感性分析模型（有目标函数）【更新中】

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后期会将相关原理，以及多种功能详细介绍。
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引言

在前面几期，介绍了局部敏感性分析法和sobol全局敏感性分析模型，本期介绍基于MATLAB的MonteCarlo蒙特卡罗结合kriging克里金代理模型全局敏感性分析方法。

往期文章：

【MATLAB第31期】基于MATLAB的降维/全局敏感性分析/特征排序/数据处理回归问题MATLAB代码实现(持续更新)
【MATLAB第32期】【更新中】基于MATLAB的降维/全局敏感性分析/特征排序/数据处理分类问题MATLAB代码实现
【MATLAB第63期】基于MATLAB的改进敏感性分析方法IPCC，拥挤距离与皮尔逊系数法结合实现回归与分类预测
【MATLAB第64期】【保姆级教程】基于MATLAB的SOBOL全局敏感性分析模型运用（含无目标函数，考虑代理模型）

一、Kriging克里金模型

克里金模型讲解参考博主：
steelDK
傻傻虎虎

克里金（Kriging）模型是一种基于空间相关性的插值方法，通过建立半变异函数来描述空间相关性，并利用已知观测点的数值和空间位置来预测未知点的数值。常用于地质、地理和环境科学等领域。
克里金模型的基本原理是通过建立半变异函数来描述空间相关性。半变异函数可以测量两个点之间的相似性程度，它表示两个点之间的数值差异随距离增加而变化的速率。常见的半变异函数包括指数模型、高斯模型和球模型等。克里金模型在应用时有如下假设条件：
(1)、克里金法假设所有数据之间都服从n维的正态分布。
(2)、无偏。
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克里金模型优点：
1.精度高
Kriging模型通过对已有数据的空间相关性进行建模，能够较准确地估计未观测点的数值，尤其适用于连续变量的插值。
2.不受外部影响
Kriging模型不仅仅依赖于周围点的数值，还考虑了点之间的空间相关性。因此，它对异常值和局部波动有较好的免疫性，能够提供相对稳定的估计结果。
3.提供不确定性估计
Kriging模型不仅能够给出点估计值，还能给出估计的不确定性。通过计算协方差函数，可以得到预测值的方差和置信区间，提供了对预测结果的可靠性评估。

克里金模型缺点：
1.数据需满足空间相关性
Kriging模型的建立基于变量的空间相关性，因此，如果数据的空间相关性很弱或不存在，模型可能不适用。此外，Kriging模型对于大数据量的计算需求较高。
2.对模型参数的选择敏感
Kriging模型的结果受到模型参数的影响，包括半方差函数的参数和拟合方法等。选择合适的参数值对于结果的准确性很重要，但也较为困难。
3.不适用于非线性插值
Kriging模型是一种线性插值方法，对于非线性、非正态的数据拟合效果较差。在这种情况下，可能需要使用其他插值方法。
4.计算复杂度较高
Kriging模型在进行预测时需要计算协方差矩阵的逆矩阵，这一过程的计算复杂度较高，尤其是当数据量较大时会增加计算的困难度。

二、蒙特卡洛模拟

（1）评价指标

评价指标包括：一阶影响指数S，总效应指数ST，与sobol评价方法一致。

*一阶影响指数S：*显示由各个输入变量的方差产生的因变量的方差，根据一阶影响指数可以量化单个变量对模型的敏感程度

总效应指数ST：显示由每个输入变量的方差及其与其他输入变量的相互作用而产生的因变量的方差。

其中直方图按总效应指数ST排序。因变量对具有最高总效应指数ST的输入变量最敏感。

输入变量的总效应指数ST和一阶影响指数S之间的差异可以衡量该输入与其他输入变量之间相互作用的效果。

（2）参数

克里金参数：

%*regr：回归模型的函数句柄。
%*corr：相关函数的函数句柄。
%*theta：相关函数参数。
%*beta：广义最小二乘估计。
%*gamma：相关系数。
%*sigma2：过程方差的最大似然估计。
%*S：按比例设计的场地。
%*Ssc：设计参数的比例因子。
%*Ysc：设计坐标的比例因子。
%*C：相关矩阵的Cholesky因子。
%*Ft：不相关回归矩阵。
%*G:根据QR因子分解：Ft=Q*G'。
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使用MCGSA函数蒙特卡罗进行全局灵敏度分析，即使用蒙特卡罗模拟计算个体效应和总效应（仿照Sobol方差计算）。其中，四个参数包括（func、str、bounds、npop）：
输入参数：

1. func是代理结构
2. str是字符串标识代理项
3. bounds是定义用于拟合代理项的输入空间的矩阵（第一行和第二行分别是下限和上限）
4. npop是蒙特卡罗样本的数量（npop一般大于5000）

输出参数：

1. output是指分析结果（结构变量）：

其中，individual ：个体效应矩阵结构（一阶影响指数S）
total：总效应矩阵结构（总效应指数ST）。

三、全局敏感性分析（有目标函数）

有目标函数情况下，可以直接结合MonteCarlo蒙特卡罗模拟进行全局敏感性分析，参考第64期sobol方法。本文仅介绍有目标函数情况下如何调用克里金模型。

VarMin=[0 0 0];%各个参数下限
VarMax=[10  10 10];%各个参数上限
bounds=[VarMin;VarMax]
 % 创建DoE
   dim       = 3;% 优化变量数量
   numpop = 20;%采样点个数,也就是参数水平数 ,取大了好，比如4000，但慢
    X = LHS(numpop, dim,bounds);% 拉丁超立方抽样
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通过使用平移传播算法（TPA）生成拉丁超立方体设计。目标是在不使用形式优化的情况下获得最优（或接近最优）拉丁超立方体设计。该过程需要最少的计算工作量，并且结果实际上是实时提供的。该算法利用点位置模式，基于PHIp准则（最大距离准则的变体）进行最优拉丁超立方体设计。由一个或多个点组成的小构建块（称为SEED）用于通过在超空间中的简单平移来重新创建这些模式。在TPA的开发过程中进行的研究发现：
（i）随着维度的增加，PHIp的分布倾向于降低值；
（ii）通过TPA获得的拉丁超立方体设计代表了高达中等尺寸的最佳拉丁超立方体的有吸引力的替代方案。得出的结论是，对于多达六个维度（无论点密度如何），所提出的拉丁超立方体设计提供了最优拉丁超立方体的计算上廉价的估计。设计的每一行代表一个运行（或示例）。设计变量被规范化，使得超立方体点的值在0和1之间。
参考文献： Viana FAC, Venter G, and Balabanov V, “An algorithm for fast optimal Latin hypercube design of experiments,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 82 (2), pp. 135-156, 2010 (DOI:10.1002/nme.2750).

%X= sobolset(dim);%或者参考64期sobol抽样方法。 
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% 目标函数响应
for i=1:numpop
Y(i,:) = myfun(X(i,:)); %
end

**A、设定目标函数（3个变量，即维度D=3）** 
Y=X1^2+2*X2+X3-1
```matlab
y=x(1)^2+2*x(2)+x(3)-1;
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B、设定变量上下限

VarMin=[0 0 0];%各个参数下限
VarMax=[10  10 10];%各个参数上限

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C、建立克里金模型

训练集输入输出建立：

X = lhsdesign(numpop, dim);% 拉丁超立方抽样
       
    %X= sobolset(dim);%或者参考64期sobol抽样方法。 
 % 目标函数响应
for i=1:numpop
 Y(i,:) = myfun(X(i,:)); %
end
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模型拟合：

opt  = krigingtrain(X, Y);
 kopt = krigingfit(opt );
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D、设定MC参数

npop = 200; %蒙特卡罗模拟的点数
sv=‘LHS’% 选择对应的抽样方法，比如LHS
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E、生成样本矩阵
基本与64期sobol一致

% 创建A矩阵
Xa = rand(npop, dim);
Xa = SV(Xa, [zeros(1,dim); ones(1,dim)], bounds);

% 创建B矩阵
Xb = rand(npop, dim);
Xb = SV(Xb, [zeros(1,dim); ones(1,dim)], bounds);
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通过将B的第i列替换为A的第i行，为每个输入变量生成C矩阵
% 创建C矩阵
C = zeros(npop,dim,dim);
for c1 = 1 : dim
    C(:,:,c1)  = Xb;
    C(:,c1,c1) = Xa(:,c1);
end
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F、GSA分析

output = MCGSA(func, str, Xa, Xb)
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一阶影响指数S值、总效应指数ST值计算公式：

var方差函数为matlab自带

绘图：

四、代码获取

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