傅里叶级数@正弦级数和余弦级数@奇偶延拓和周期延拓

abstract

• 傅里叶级数@正弦级数和余弦级数@奇偶延拓和周期延拓

正弦级数和余弦级数

• 奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
• 偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数
• 准确来说,是傅里叶系数的$a_n$为0就是正弦级数,而不要求最终级数的形式中包含正弦函数;余弦级数类似

周期延拓

• 若函数$f(x)$定义在$[-\pi ,\pi ]$,我们可以在$[-\pi ,\pi )$或$(-\pi ,\pi ]$外的区间(即$(-\infty ,-\pi ]$或$[\pi ,+\infty )$)补充函数$f(x)$的定义,使它拓广为周期为$2\pi$的周期函数$F(x)$,称为周期延拓
  • 这里$[-\pi ,\pi )$和$[-\pi ,\pi ]$的写法的区别在于每个区间的端点处的定义
  • 当$f(x)$在$k\pi$,$k\in \mathrm{Z}$时有间断点(比如第一类间断点)时,就有明显的区别

奇偶延拓

• 在实际应用中,有时还需要把定义在$[0,\pi ]$上的函数$f(x)$展开成正弦级数或余弦级数
• 设函数$f(x)$在区间$[0,\pi ]$上,并且满足收敛定理的条件,那么我们在开区间$(-\pi ,0)$内补充定义,得到定义在$(-\pi ,\pi ]$上的函数$F(x)$,使它在$(-\pi ,\pi )$上成为奇函数(偶函数)
• 按照上述方法拓广函数的定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)
• 将延拓后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必然是正弦级数或余弦级数

对延拓函数做区间限制

• 再限制$x\in (0,\pi ]$,此时$F(x)\equiv f(x)$,便得到$f(x)$的正弦级数(余弦级数)的展开式

小结

• 奇延拓(偶延拓)是先将非奇函数(偶函数)拓广成单个周期内的奇函数(偶函数)
• 而周期延拓在已经是奇函数(偶函数)的基础上,将定义域拓广到任意更多周期

偶延拓方法

• 对于偶函数$F(x)$,它的图形关于$y$轴对称

• 若$f(x)$的定义域为$D_f$,且关于$y$轴对称的图形对应的函数为$f_1(x)$,$(x\in -D_f)$

• 我们有结论$f_1(x)$=$f(-x)$;

  • $f_1$的定义域为$D_{f_1}=-D_f$,(这里假设函数连续,否则要考虑间断点或者分段函数分段点)

    • 例如$D_f=(0,+\infty )$,则$-D_f=(-\infty ,0)$

  • 结论可由函数图形变换性质得出

  • 或由点坐标法得出:$P(x,f(x))$的对称点为$Q(-x,f(x))$,$Q$满足$f_1(-x)=f(x)$,即$f_1(x)=f(-x)$

奇延拓方法

• 对于奇函数$F(x)$,它的图形关于原点对称

• 若$f(x)$的定义域为$D_f$,并设$f(x)$关于原点对称的图形对应的函数段为$f_1(x)$,$(x\in -D_f)$

• 我们有结论:$f_1(x)$=$-f(-x)$

• 结论的推导:根据函数图形翻折知识,可知,得到图形关于原点对称的图形有两种方法

  • 方法1:二次翻折法:可通过2步骤完成:
    1. 将$f(x)$的图像关于$y$轴对称,得到$f(-x)$
    2. 在将$f(-x)$关于$x$对称,得到$-f(-x)$
  • 方法2:点坐标对称法,直接获得欲求函数
    • 设$P(x,f(x))$为函数$f(x)$上的点,则$P$关于原点的对称点坐标为$Q(-x,-f(x))$
    • 而$Q$在$f(x)$关于原点对称的函数$f_1(x)$的图形上,所以$Q$坐标满足$f_1(-x)=-f(x)$,从而$f_1(x)=-f(-x)$

• 这就是说,$f(x)$关于原点对称的图形的解析式对应于$-f(-x)$,定义域为$-D_f$

例

• 例如,对于$f(x)$=$2x^2$,$x\in [0,\pi ]$,求它展开成的正弦级数和余弦级数

  • 分析:对$f(x)$进行周期延拓,即分别做奇延拓和偶延拓,可分别得到正弦级数和余弦级数展开式

• 展开成正弦级数:

  • 将$f(x)$做奇延拓:
    • $\varphi (x)$=$2x^2$,$x\in [0,\pi ]$;
    • $\varphi (x)$=$-\varphi (-x)$=$-2x^2$,$x\in [-\pi ,0)$
  • 再对$\varphi (x)$做周期延拓,得到$F(x)$,$x\in (-\infty ,+\infty )$
  • $\Phi (x)$满足收敛定理条件,
    • $\Phi (x)$在$x=(2k+1)\pi$,$k\in \mathbb{Z}$处间断
    • $\Phi (x)$在$[0,\pi ]$上$\Phi (x)$=$f(x)$,所以它的傅里叶级数$F$在$[0,\pi )$上收敛于$f(x)$
    • 周期奇函数的性质可知,其傅里叶系数
      • $a_n$=0,$n=0,1,2,\cdots$
      • $b_n$=$\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }2x^2\sin nx\mathrm{d}x$=$\frac{4}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^2\sin nx\mathrm{d}x$
        • 使用2次分部积分,可得
        • $b_n$=$-\frac{4}{n\pi }({\pi }^2\cos n\pi -\frac{2}{n^2}\cos n\pi +\frac{2}{n^2})$
          • =$\frac{4}{\pi }(-\frac{{\pi }^2}{n}\cos n\pi +\frac{2}{n^3}\cos n\pi -\frac{2}{n^3})$=$\frac{4}{\pi }(-\frac{{\pi }^2}{n}(-1{)}^n+\frac{2}{n^3}(-1{)}^n-\frac{2}{n^3})$
          • =$\frac{4}{\pi }((-\frac{{\pi }^2}{n}+\frac{2}{n^3})(-1{)}^n-\frac{2}{n^3})$;$n=1,2,\cdots$
      • $\Phi (x)$=$\frac{4}{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }((-\frac{{\pi }^2}{n}+\frac{2}{n^3})(-1{)}^n-\frac{2}{n^3})$,$x\in (-\infty ,+\infty )$
      • $f(x)$=$\frac{4}{\pi }{\sum }_{n=1}^{\infty }((-\frac{{\pi }^2}{n}+\frac{2}{n^3})(-1{)}^n-\frac{2}{n^3})$,$x\in [0,\pi )$
        • 该式就是对延拓函数$\Phi (x)$做区间限制,即得$f(x)$的正弦级数展开
  • 它是一个奇函数或者偶函数
  • 定义域是一个周期,$[-\pi ,\pi ]$

• 展开成余弦级数

  • 为此对函数$f(x)$做偶延拓,$\varphi (x)$=$2x^2$,$x\in (-\pi ,\pi ]$
  • 再作$\varphi (x)$的周期延拓函数$\Phi (x)$,则$\Phi (x)$满足收敛定理的条件,且处处连续
  • 在$[0,\pi ]$上,$\Phi (x)=f(x)$,所以它的傅里叶级数$F$在$[0,\pi ]$上收敛于$f(x)$
    • $b_n=0$,$n=1,2,\cdots$
    • $a_0$=$\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$=$\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }2x^2\mathrm{d}x$=$\frac{4}{3}{\pi }^2$
    • $a_n$=$\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x$=$\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }2x^2\cos nx\mathrm{d}x$=$(-1{)}^n\frac{8}{n^2}$,$(n=1,2,\cdots )$
  • 所以$f(x)$=$\frac{1}{2}\frac{4}{3}{\pi }^2$+$8{\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{8}{n^2}\cos nx$,$x\in [0,\pi )$