三维空间常用函数（二） c++ Qt

        上一篇文章介绍完了点、线、面的基本函数，链接如下。

三维空间常用函数（一） c++ Qt_嘟嘟噜噜噜啦啦的博客-CSDN博客

        接下来介绍一下投影以及求交的方法。

1、点投影到平面与直线

        点投影到平面

        求点到平面的投影点，可以看成以这个点为起点，以平面法向量为方向的直线，与平面的交点，直线可以表示为：p + t * dir，只需求出平面上的点的t值大小即可，如图：

        从图中可以看出，投影点 P = P0 + t * nor，而 t = cenP0 * cosθ，cenP0为以cen和P0组成线段的长度，而θ为cenP0与nor的夹角，从之前点乘的定义，很容易得到 t = cenP0 * nor，所以点投影到三维平面的函数如下

// 点投影到平面
QVector3D ProjectionToPlane(const QVector3D& plane_center, const QVector3D& plane_normal, const QVector3D& point)
{
    QVector3D nor = plane_normal.normalized();
 
    QVector3D temp_point;
    // 求点到平面的距离
    double t = QVector3D::dotProduct(nor, (plane_center - point));
    temp_point = t * nor + point;// 点到平面的距离乘法向量
    return temp_point;
}

        点投影到直线

        有了点投影到平面之后，点投影到直线就十分简单了，如图：

        点P0投影到以cen为起点，dir为方向向量的直线上的投影点P，可以看成是点cen投影到以P0为中心点，以dir为法向量的平面的投影点，所以点投影到三维直线的函数如下：

QVector3D ProjectionToLine(const QVector3D& line_center, const QVector3D& line_dir, const QVector3D& point)
{
    return ProjectionToPlane(point, line_dir, line_center);
}

2.线与面相交

        直线与平面相交

        直线与平面相交，需要先对直线的方向向量进行判断，当直线与平面不平行的时候，那就一定会有一个交点，平行根据直线方向向量与法向量是否垂直判断即可。有交点的时候如图：

        图中平面的中心点为cen,法向量为nor，直线上一点为P0，方向向量为dir，直线与平面的交点假设为P，则根据之前点投影到平面的公式，有 t = cenP0 * nor = PP0 * nor，而线段PP0  = P - P0, 因为P在直线上，所以P = P0 + x * dir，其中x为线段PP0的长度。所以可以得到

        cenP0 * nor = (P - P0) * nor = (P0 + x * dir - P0) * nor = x * dir * nor

→ x = cenP0 * nor / (dir * nor) 

        得到了x之后，交点P的坐标就可以用P0 + x * dir得到。所以计算直线和平面的交点的函数如下：

bool LineIntersectPlane(const QVector3D& line_p, const QVector3D& line_dir, const QVector3D& plane_cen, const QVector3D& plane_nor, QVector3D& out_point)
{
    if (qAbs(QVector3D::dotProduct(line_dir, plane_nor)) < 0.0001) // 平行
        return false;
    double t = QVector3D::dotProduct(plane_cen - line_p, plane_nor) / QVector3D::dotProduct(line_dir, plane_nor);
    out_point = line_p + t * line_dir;
    return true;
}

        如果判断是射线的话，只要加个t大于等于0的判断即可。如果为线段，则判断t的值是否在线段的范围内即可。

        参考链接：【寒江雪】计算直线与平面的交点坐标_平面img_285与直线img_286的交点坐标为__寒江雪_的博客-CSDN博客

        射线与三角形相交

        原理和代码参考：

https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/08/09/1795348.html

        这里给出改成Qt使用的函数：

// 求射线与三角形的交点，射线起点，方向向量，三角形三个顶点坐标，交点方向分量,有交点返回真，无交点返回假
bool IntersectTriangle(QVector3D orig, QVector3D dir, QVector3D v0, QVector3D v1, QVector3D v2, double& t)
{
    // 射线上的点表示为  起点 + t * 方向向量，三角形内部所以点的参数方程为(1-u-v)*v0+u*v1+v*v2,他们相等就是交点
    // 三未知量u,v,t使用三阶齐次矩阵来求解
    // 三向量的行列式等于x1点乘x2叉乘x3
    double u, v;
    QVector3D E1 = v1 - v0;
    QVector3D E2 = v2 - v0;
    QVector3D P = QVector3D::crossProduct(dir, E2);
    double det = QVector3D::dotProduct(E1, P);
    QVector3D T;
    if (det > 0)
    {
        T = orig - v0;
    }
    else
    {
        T = v0 - orig;
        det = -det;
    }
    if (det < 0.0001f)
    {
        return false;
    }
    u = QVector3D::dotProduct(T, P);
    if (u<0.0f || u>det)// 没有交点，返回假
        return false;
    QVector3D Q = QVector3D::crossProduct(T, E1);
    v = QVector3D::dotProduct(dir, Q);
    if (v<0.0f || u + v>det)// 没有交点，返回假
        return false;
    t = QVector3D::dotProduct(E2, Q);
    t = t / det;
    return true;// 计算完毕之后，返回真
}