密码学 - RSA签名算法

实验九 RSA签名算法-

一、实验目的

通过实验掌握GMP开源软件的用法，理解RSA数字签名算法，学会RSA数字签名算法程序设计，提高一般数字签名算法的设计能力。

二、实验要求

(1)基于GMP开源软件，实现RSA签名算法。

(2)要求有对应的程序调试记录和验证记录。

三、实验内容

1.密钥生成算法

这一步骤将为每个用户生成公钥和相应私钥，执行如下操作:

(1) 产生两个不同的大素数p和q。

(2)计算n=pq和φ=(p-1)(q-1)。

(3)选择一个随机数e(1

(4)使用扩展欧几里得算法计算d(1

(5)那么用户得公钥为(n,e),私钥为d。

2.签名生成算法

假设用户A对消息m∈M签名，执行操作如下:

(1)存在一个函数R(* ),将消息m映射为范围[0,n-1]的一个数m，即m=R(m)。

(2)计算s=m“modn。

(3)A对消息m的签名为s。

(4)恢复消息m=R~'(m)。

四、算法实现：

RSA签名算法可以分为三个部分:生成密钥、签名和解签名。关键函数

生成满足gcd(e,p)=1的随机数e(1

1.密钥生成算法：

#include 
#include 
 
// 函数声明
int gcd(int a, int b);
int modInverse(int a, int m);
 
int main() {
    // 步骤1: 产生两个不同的大素数p和q
    int p = 61; // 替换为实际生成的素数
    int q = 53; // 替换为实际生成的素数
 
    // 步骤2: 计算n=pq和φ=(p-1)(q-1)
    int n = p * q;
    int phi = (p - 1) * (q - 1);
 
    // 步骤3: 选择一个随机数e(1
    int e = 17; // 替换为实际选择的e
 
    // 步骤4: 使用扩展欧几里得算法计算d(1
    int d = modInverse(e, phi);
 
    // 输出公钥和私钥
    std::cout << "公钥 (n, e): (" << n << ", " << e << ")" << std::endl;
    std::cout << "私钥 d: " << d << std::endl;
 
    return 0;
}
 
// 辅助函数: 计算最大公约数
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a % b);
}
 
// 辅助函数: 计算模反元素
int modInverse(int a, int m) {
    for (int x = 1; x < m; x++) {
        if ((a * x) % m == 1) {
            return x;
        }
    }
    return -1; // 如果不存在模反元素
}

 

2.签名生成算法

#include 
#include 
 
// 函数声明
int modPow(int base, int exponent, int modulus);
 
int main() {
    // 用户A对消息m签名
    int m = 42; // 替换为实际的消息
 
    // 步骤1: 将消息m映射为范围[0, n-1]的数
    int n = 3233; // 替换为实际的n
    m = m % n;
 
    // 步骤2: 计算s = m^e mod n
    int e = 17; // 替换为实际的e
    int s = modPow(m, e, n);
 
    // 步骤3: A对消息m的签名为s
    std::cout << "用户A对消息m的签名为: " << s << std::endl;
 
    return 0;
}
 
// 辅助函数: 计算模幂运算
int modPow(int base, int exponent, int modulus) {
    int result = 1;
    base = base % modulus;
    while (exponent > 0) {
        if (exponent % 2 == 1)
            result = (result * base) % modulus;
        exponent = exponent >> 1;
        base = (base * base) % modulus;
    }
    return result;
}

 

五、实验心得：

        密钥生成是整个RSA系统的基础。通过选择两个不同的大素数，计算出n和φ，再选择合适的e和使用扩展欧几里得算法计算d，最终得到公钥和私钥。这个过程中，对数论知识的理解是至关重要的，尤其是关于素数和模运算的概念。

        签名生成算法涉及到对消息的映射、模幂运算等步骤。通过将消息映射到指定范围，然后使用指定的指数进行模幂运算，得到消息的签名。这一过程实际上是数字签名的核心，确保了消息的完整性和真实性。