详解傅立叶变换，看这一文足矣！

从听到傅立叶变换这个名词后到现在已经四年了，这次终于对傅立叶变换有了一个基本的初步了解。记录一下，这个傅立叶变换也同时记录了我本科到研究生的四年，一路以来跌跌撞撞，没想到最后还是入了图像的坑

数字图像处理——傅立叶变换

欧拉公式

对于一个复平面（对于欧几里得平面而言，把实数作为x轴，虚数作为y轴）

若在复平面上存在一个单位圆，所以在单位圆上的点可以表示为$\cos \theta +\sin \theta \cdot i$

对于泰勒公式：
e x = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 + ⋯ + 1 n ! x n = ∑ i = 0 n 1 i ! x i sin ⁡ x = x − 1 6 x 3 + 1 120 x 5 + ⋯ + ( − 1 ) 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! x 2 k − 1 = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 ( 2 i − 1 ) ! x 2 i − 1 cos ⁡ x = 1 − 1 2 x 2 + 1 24 x 4 + ⋯ + ( − 1 ) k ( 2 k ) ! x 2 k = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( 2 i ) ! x 2 i

exsinxcosx​=1+x+21​x2+61​x3+⋯+n!1​xn=i=0∑n​i!1​xi=x−61​x3+1201​x5+⋯+(2k−1)!(−1)2k−1​x2k−1=i=1∑n​(2i−1)!(−1)i−1​x2i−1=1−21​x2+241​x4+⋯+(2k)!(−1)k​x2k=i=0∑n​(2i)!(−1)i​x2i​
令$x=\theta i$，则可得$e^{\theta i}=\cos \theta +\sin \theta \cdot i$

则单位圆存在如下表示：

傅立叶级数

对于傅立叶级数表示如果存在周期为$T$的函数，那它一定可以由一组正弦和余弦函数表示，即：
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\sin \frac{2\pi n}{T}x+b_n\cos \frac{2\pi n}{T}x)$$
同时因为欧拉公式$e^{\theta i}=\cos \theta +\sin \theta \cdot i$，所以
{ e θ i = cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ⋅ i e − θ i = cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ⋅ i ⇒ { cos ⁡ θ = e θ i + e − θ i 2 sin ⁡ θ = e θ i − e − θ i 2 i

\Rightarrow {eθi=cosθ+sinθ⋅ie−θi=cosθ−sinθ⋅i​⇒{cosθ=2eθi+e−θi​sinθ=2ieθi−e−θi​​
带入傅立叶级数可得：
f ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n e 2 π n T x ⋅ i + e − 2 π n T x ⋅ i 2 + b n e 2 π n T x ⋅ i − e − 2 π n T x ⋅ i 2 i ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n e 2 π n T x ⋅ i + e − 2 π n T x ⋅ i 2 − b n e 2 π n T x ⋅ i − e − 2 π n T x ⋅ i 2 ⋅ i ) = a 0 + ∑ n = 0 ∞ ( a n − b n ⋅ i 2 e 2 π n T x ⋅ i + a n + b n ⋅ i 2 e − 2 π n T x ⋅ i )

f(x)=a0+∑n=1∞(ane2πnTx⋅i+e−2πnTx⋅i2+bne2πnTx⋅i−e−2πnTx⋅i2i)=a0+∑n=1∞(ane2πnTx⋅i+e−2πnTx⋅i2−bne2πnTx⋅i−e−2πnTx⋅i2⋅i)=a0+∑n=0∞(an−bn⋅i2e2πnTx⋅i+an+bn⋅i2e−2πnTx⋅i)" role="presentation" style="position: relative;">f(x)=a0+∑n=1∞(ane2πnTx⋅i+e−2πnTx⋅i2+bne2πnTx⋅i−e−2πnTx⋅i2i)=a0+∑n=1∞(ane2πnTx⋅i+e−2πnTx⋅i2−bne2πnTx⋅i−e−2πnTx⋅i2⋅i)=a0+∑n=0∞(an−bn⋅i2e2πnTx⋅i+an+bn⋅i2e−2πnTx⋅i)$$\begin{array}{rl}f(x)& =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}+e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}}{2}+b_n\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}-e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}}{2i})\\ & =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}+e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}}{2}-b_n\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}-e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}}{2}\cdot i)\\ & =a_0+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{a_n-b_n\cdot i}{2}{e}^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}+\frac{a_n+b_n\cdot i}{2}{e}^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i})\end{array}$$

f(x)​=a0​+n=1∑∞​(an​2eT2πn​x⋅i+e−T2πn​x⋅i​+bn​2ieT2πn​x⋅i−e−T2πn​x⋅i​)=a0​+n=1∑∞​(an​2eT2πn​x⋅i+e−T2πn​x⋅i​−bn​2eT2πn​x⋅i−e−T2πn​x⋅i​⋅i)=a0​+n=0∑∞​(2an​−bn​⋅i​eT2πn​x⋅i+2an​+bn​⋅i​e−T2πn​x⋅i)​
令$c_0=a_0,c_n=\frac{a_n-b_n\cdot i}{2},c_{-n}=\frac{a_n+b_n\cdot i}{2}$，则
$$f(x)=\sum _{n=-\infty }{c}_n{e}^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}$$
其中$c_n$为傅立叶级数的系数，它代表原始函数$f(x)$在特定频率$n$处的强度

对于$f(x)$，此时等号左右两侧同时乘上$e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}$，则
$$e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}\times f(x)=e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}\times \sum _{n=-\infty }{c}_n{e}^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}$$
在一个周期$T$内进行积分:
∫ 0 T f ( x ) e − 2 π n T x ⋅ i d x = ∫ 0 T e − 2 π n T x ⋅ i × ∑ n = − ∞ c n e 2 π n T x ⋅ i d x = ∫ 0 T ∑ n = − ∞ c n e 2 π n ′ T x ⋅ i d x

∫0T​f(x)e−T2πn​x⋅idx​=∫0T​e−T2πn​x⋅i×n=−∞∑​cn​eT2πn​x⋅idx=∫0T​n=−∞∑​cn​eT2πn′​x⋅idx​
对于$e^{\frac{2\pi n^{\prime }}{T}x\cdot i}$在一个周期内积分，即考虑$e^{\frac{2\pi (n-m)}{T}x\cdot i}$在一个周期上积分

当$n=m$时，$e^{\frac{2\pi (n-m)}{T}x\cdot i}=e^0=1$，此时
$${\int }_0^T{e}^{\frac{2\pi n^{\prime }}{T}x\cdot i}dx=T$$
当$n\ne m$时，$e^{\frac{2\pi n^{\prime }}{T}x\cdot i}=\cos \frac{2\pi n^{\prime }}{T}x+\sin \frac{2\pi n^{\prime }}{T}x\cdot i$，此时
∫ 0 T e 2 π n ′ T x ⋅ i d x = ∫ 0 T ( cos ⁡ 2 π n ′ T x + sin ⁡   2 π n ′ T x ⋅ i ) d x = ∫ 0 T cos ⁡ 2 π n ′ T x d x + i ∫ 0 T sin ⁡   2 π n ′ T x d x = 0

∫0T​eT2πn′​x⋅idx​=∫0T​(cosT2πn′​x+sin T2πn′​x⋅i)dx=∫0T​cosT2πn′​xdx+i∫0T​sin T2πn′​xdx=0​
所以：
∫ 0 T f ( x ) e − 2 π n T x ⋅ i d x = ∫ 0 T e − 2 π n T x ⋅ i × ∑ n = − ∞ c n e 2 π n T x ⋅ i d x = ∫ 0 T ∑ n = − ∞ c n e 2 π n ′ T x ⋅ i d x = c n T , n = n ′

∫0Tf(x)e−2πnTx⋅idx=∫0Te−2πnTx⋅i×∑n=−∞cne2πnTx⋅idx=∫0T∑n=−∞cne2πn′Tx⋅idx=cnT,n=n′" role="presentation" style="position: relative;">∫T0f(x)e−2πnTx⋅idx=∫T0e−2πnTx⋅i×∑n=−∞cne2πnTx⋅idx=∫T0∑n=−∞cne2πn′Tx⋅idx=cnT,n=n′$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{T}f(x)e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}dx& ={\int }_0^T{e}^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}\times \sum _{n=-\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}dx\\ & ={\int }_0^T\sum _{n=-\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{\frac{2\pi n^{\prime }}{T}x\cdot i}dx\\ & =c_{n}T,n=n^{\prime }\end{array}$$

∫0T​f(x)e−T2πn​x⋅idx​=∫0T​e−T2πn​x⋅i×n=−∞∑​cn​eT2πn​x⋅idx=∫0T​n=−∞∑​cn​eT2πn′​x⋅idx=cn​T,n=n′​
可得
$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(x)e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}dx$$
对于三角函数$A\sin (\omega x+\phi )$中周期为$T=\frac{2\pi }{\omega }$，相位为$\phi$，振幅为$A$，频率为$\Delta f=\frac{1}{T}$。

在复平面中
$$c_n\times e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}=c_n\times (\cos \frac{2\pi n}{T}x+\sin \frac{2\pi n}{T}x\cdot i)$$
所以频率为$\Delta f=\frac{T}{2\pi n}$，振幅为$c_n$。

傅立叶变换

连续型

当周期$T$趋向于无穷大时，函数不再是周期的，而是在整个实数轴上定义。此时频率$\Delta f=\frac{1}{T}\to 0$，这意味着频率变得连续，而不再是离散的。当$T\to \infty$时，$\omega =\frac{2\pi n}{T}$，则可以将$n\Delta f$替换为一个连续的频率。于是，我们从傅立叶级数系数 $c_n$ 得到傅立叶变换：
{ c n = 1 T ∫ 0 T f ( x ) e − 2 π n T x ⋅ i d x T = ∞ ⇒ F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) e − ω x ⋅ i d x , ω = 2 π n T

\Rightarrow F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-\omega x\cdot i}dx\quad,\omega=\frac{2\pi n}{T} {cn​=T1​∫0T​f(x)e−T2πn​x⋅idxT=∞​⇒F(ω)=2π1​∫−∞+∞​f(x)e−ωx⋅idx,ω=T2πn​

离散型

已知连续型的傅立叶变换为$F(\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-\omega x\cdot i}dx$

当我们考虑离散的信号时，而不是连续的信号，我们需要使用离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)。给定一个离散信号序列 $x[n]$，其DFT为 $X[k]$，定义如下：

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}$$
其中:

• $x[n]$ 是在时域中的离散信号。
• $X[k]$ 是在频域中的离散频率响应。
• $N$ 是信号的总长度或总样本数。
• $k$ 是离散频率的索引，范围从 $0$ 到 $N-1$。