sqrt函数的实现

sqrt函数用来求平方根的函数，本篇文章介绍普通的二分法求解和sqrt实现的牛顿迭代法求解这两种方法；

二分法

1. 确定待求解的区间，假设待求解的值x所在的区间为[a,b]。
2. 计算中间点c = (a + b) / 2，判断f©是否等于0，若等于0，则c就是方程的解；否则判断f©的符号。
3. 如果f© > 0，说明待求解的值x在区间(a,c)内，将区间缩小为[a,c]；如果f© <0，说明待求解的值x在区间(c,b)内，将区间缩小为[c,b]。
4. 重复执行步骤2和步骤3，直到找到满足精度要求的近似解或达到最大迭代次数为止。

#include 
#include 

double mySqrt(double x) {
    double left = 0, right = x; // 初始区间为[0,x]
    double eps = 1e-10; // 精度要求为10位小数
    while (right - left > eps) { // 精度要求为10位小数
        double mid = (left + right) / 2; // 取中间点
        if (mid * mid > x) { // 如果mid的平方大于x，说明待求解的值在左半边
            right = mid; // 缩小区间为[left,mid]
        } else { // 否则说明待求解的值在右半边
            left = mid; // 缩小区间为[mid,right]
        }
    }
    return (left + right) / 2; // 返回近似解
}

int main() {
    double x;
    std::cout << "请输入一个正数：";
    std::cin >> x;
    printf("该数的平方根为：%.10lf\n", mySqrt(x));
    return 0;
}

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牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种求解方程根的方法，其基本思想是通过迭代公式不断逼近方程的根。对于求解平方根的问题，我们可以将其转化为求解x^2 - a = 0的根，其中a为给定的数。迭代公式为：x{n+1} = (x+ a / x) / 2。

#include 
#include 

double sqrt_newton(double x) {
    double guess = x; // 猜测x的平方根答案 
    double precision = 1e-10; // 设定精度为10位
    double diff = std::abs(guess * guess - x); // 记录迭代过程中的差值

    while (diff > precision) {
        guess = (guess + x / guess) / 2; // 迭代公式
        diff = std::abs(guess * guess - x); // 计算误差
    }

    return guess;
}

int main() {
    double x;
    std::cout << "请输入一个数：";
    std::cin >> x;

    double result = sqrt_newton(x);
    printf("%.10lf\n", result);
    double result2 = sqrt(2);
	printf("%.10lf\n", result2);
    return 0;
}
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