• 数值分析学习笔记——误差【华科B站教程版本】

    误差

    误差：一个物理量的真实值与计算值之间的误差

    误差来源与分类

    • 模型误差：对问题所抽象出来的数学/物理模型是误差的，比如要有一些假设条件才进行理论的推导
    • 观测误差：测量得到的模型的参数的值的误差
    • 方法误差（截断误差）：求近似解的方法的误差
    • 舍入误差：计算机字长有限，例如计算机所存储的PI值和实际的PI值之间是有误差的、浮点数误差

    在使用数值方法解决问题的时候，要重点考虑方法误差和舍入误差

    案例：近似计算 ∫ 0 1 e − x 2 d x \int_0^1{e^{-x^2}}dx ∫01​e−x2dx

    【值范围估计】

    在这里插入图片描述

    【数值方法计算】

    在这里插入图片描述

    从上面可知，数值计算所得到定积分的值是0.743，且该值与原定积分值（0.747… …）的误差不超过0.006

    误差的传播与积累

    有一个天气预报程序，有下面两种计算方式

    • 直接演算完两周的变化过程，得到最终的结果
    • 先计算一周的变化过程，然后将数据存储下来，接着计算第二周的变化过程

    上面两种方式得到的结果可能天差地别，因为中途将数据输出为文件时需要对数字取有限的位数，这就出现了舍入误差，这个误差随着积累越来越大，最终造成两种方式所求得的结果差异较大

    在这里插入图片描述

    对于一些病态问题，可能一开始只是有一点小误差，但是随着计算过程的积累，最后所得到的结果会有巨大的失真

    案例

    在这里插入图片描述

    方法一

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    【算法稳定性分析】

    在这里插入图片描述

    方法二

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    总结

    误差是不可回避的，在使用一个算法之前，需要先分析算法的稳定性

    绝对误差与相对误差

    绝对误差

    在这里插入图片描述

    相对误差

    使用绝对误差不太容易衡量误差的大小，用相对误差转化为百分比的数更容易看出来

    在这里插入图片描述

    有效数字

    有效数字位数：从小数点的最后一位开始数，数到最前面不为零的数字，如0.1的有效数字位数是1，1.1的有效数字位数是2

    在这里插入图片描述

    上面内容的数学描述如下：

    在这里插入图片描述

    案例

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    12300应该写成，0.12300x10^5，这样有效数字的位数才是不变的

    有效数字与相对误差限

    有效数字推导相对误差限

    在这里插入图片描述

    相对误差限推导有效数字

    在这里插入图片描述

    案例

    在这里插入图片描述

    函数的误差估计

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    案例（1）

    在这里插入图片描述

    案例（2）

    在这里插入图片描述

    算法设计的注意事项

    在算法设计的时候需要考虑误差的传播和累积，在使用计算机进行实现的时候需要注意如下方面：

    避免相近的两个数相减

    在这里插入图片描述

    避免分母太小（会造成浮点溢出）

    尽量不要用大数除以小数，不然数字很大，计算机字长有限，舍入误差较大

    避免大数吃小数

    避免 大数和小数 之间 相加或者相减

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    求和时 从小到大 相加，可以使得 和的误差 减小

    如果想用大数 加 小数，可能会出现大数吃小数的情况

    在这里插入图片描述

    先化简再计算，避免误差累积

    一般来说，计算机处理下列运算的速度为 加减>乘除>exp()，可以先尽量将运算化简为 加减、乘除，再进行计算

    选用稳定的算法

    说明

    文章为本人学习网上课程的学习笔记，课程的链接为 《数值分析》2020年春季华中科技大学研究生课程 46讲合辑，文章中大部分图片来源于课程截图，部分图片中加上了本人的理解标注，如有侵权，麻烦联系删除，最后对老师的课程表示衷心的感谢。

  • 相关阅读:
    GBASE 8C——SQL参考6 sql语法（10）
    基于未知环境碰撞冲突预测的群机器人多目标搜索研究
    【操作系统 | Linux】 文件管理四件套（切换,创建删除，复制移动）
    关于 Redis 中集群
    【etcd】编译与安装
    银河麒麟V10离线安装PostgreSQL10+PostGIS2.5
    【SpringBoot项目】SpringBoot项目-瑞吉外卖【day01】
    Redis最常见的5种应用场景
    el-table的border属性失效问题解决方案
    常见恶意软件类型及危害
  • 原文地址：https://blog.csdn.net/laodanqiu/article/details/133585434