八、混合整数线性规划问题

1、混合整数线性规划问题

\qquad 混合整数线性规划问题的一般表示形式如下所示：假设现有$n$个变量，$m$个约束，令最大化(或者最小化)$c_1{x}_1+c_2{x}_2+...+c_n{x}_n$为目标函数，约束条件如下所示：
$$\begin{gathered} a_{11}{x}_1+...+a_{1n}{x}_n\le b_1 \\ ... \\ {a}_{m1}{x}_1+...+a_{mn}{x}_n\le b_m \\ {x}_i\ge 0,1\le i\le n \\ {x}_i为整数,i\in S \end{gathered}$$
\qquad 混合整数线性规划问题和线性规划问题形式大致相同，但引入了一个新的集合$S$，规定集合$S$中的变量$x_i$的取值必须为整数。
\qquad 求解一个0-1整数上的线性方程也是NP-完全的，如子集和问题：

• 给定一个整数集合 S = { s 1 , s 2 , . . . , s n } S=\{s_1,s_2,...,s_n\} S={s1​,s2​,...,sn​}和一个整数$s_0$
• 是否存在一个子集，其中的元素之和为$s_0$
  \qquad 子集和问题的混合整数线性规划模型如下所示：
  $$s_1{x}_1+...+s_n{x}_n=s_0,0=\le x_i\le 1,1\le i\le n$$
  \qquad 子集和问题是NP完全的，所以一般的混合整数规划模型肯定是NP完全的。
  \qquad 混合整数规划问题有以下重要的性质：
• 对于一个混合整数规划问题，所有可行的点对于线性松弛问题都是可行的
• 所以松弛问题的整数最优解是混合整数线性规划问题的最优解

2、分枝定界算法

\qquad 求解混合整数线性规划的思路（分枝定界法 branch and bound） 如下所示：

• 不断用单纯型算法来求解改进后的松弛问题
• 通过增加约束来进行分枝求解
• 直到整数最优解出现在新的改进之后的松弛问题的一个顶点
  \qquad 分枝定界法的算法流程如下所示：
  
  \qquad 在分枝树中出现以下三种情况下无需继续向下分枝：
  \qquad ① 分枝结点不可行
  \qquad ② 分枝结点最优解是整数解
  \qquad ③ 分枝结点求解得到的松弛解比当期最优解更差

2.1、分枝策略

\qquad 强分枝策略
\qquad 对于每一个取值为分数的变量$x$，均计算其$P_{below}$和$P_{above}$ 的最优目标值，选择对目标函数提升最多的一个变量优先进行分枝
\qquad 伪费用分枝(pseudo-cost)策略
\qquad 估算每一个变量的分枝获益(潜在可能的目标值提升)
\qquad 选择估计值中最好的一个进行优先分枝

THE END