EM@极坐标系@曲线的极坐标方程

abstract

• 曲线的极坐标方程
  • 圆的极坐标方程@任意位置圆的方程
  • 圆锥曲线的极坐标方程

曲线的直角坐标方程

• 在给定平面直角坐标系下,若二元方程$F(x,y)=0$,满足以下两个关于曲线$C$的条件,则称该方程为曲线$C$的方程
  • 曲线$C$上的任意点坐标$(x,y)$满足方程
  • 所有满足方程的坐标$(x,y)$所对应的点都在曲线上
• 总之,曲线$C$是坐标$(x,y)$满足方程$F(x,y)=0$的所有点的集合,曲线的直角坐标方程称为曲线的普通方程

方程和曲线的数形结合

• 建立了直角坐标系后,一个有序数对表示平面上的一个点,而一个二元方程表示一条平面曲线,这样就使数与形结合起来,使我们可以通过对数量关系的讨论来研究图形
• 另一方面也可以利用几何图形直观的演示函数方程中两变量之间的关系;几何图形中可能提示某些问题的解决途径

曲线的极坐标方程

• 在给定的平面上的极坐标系下,若方程$F(\rho ,\theta )=0$所有点恰好构成曲线$C$,则称次二元方程$F(\rho ,\theta )=0$为曲线$C$的极坐标方程

• 或者说,曲线$C$由极坐标$(\rho ,\theta )$满足方程的所有点组成的,则称方程$F(\rho ,\theta )=0$是$C$的极坐标方程

• 由于平面上点的极坐标不唯一,所以曲线的极坐标有多组表示形式,这里要求曲线$C$至少有一组极坐标表示能够满足极坐标方程即可

• 例如极坐标方程$\rho =\theta$,点$M(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$显然满足方程,但是$M$的其他极坐标表示,例如$(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}+2k\pi ),k\in \mathbb{Z},k\ne 1$不满足方程,但只要有一组表示满足方程,则称$M$满足方程

简单极坐标方程形式

• 通常极坐标形如$\rho =\rho (\theta )$,即$\rho$是$\theta$的一个函数

极坐标点的对称性和图形对称性

• 由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程$\rho =\rho (\theta )$的图形对称性
• 若$\rho (\theta )$=$\rho (-\theta )$,则图形关于极轴对称
• 若$\rho (\theta )$=$\rho (\pi -\theta )$,则图形关于射线$\theta =\frac{\pi }{2}$所在直线对称
• 若$\rho (\theta )=\rho (\pi +\theta )$,则图形关于极点$O$对称

简单图形的极坐标方程

1. $\rho =R$表示以极点为圆心,以$R$为半径的圆
   • 因为极角$\theta$无论取何值,极径总为1
   • 也可以将极坐标用直角坐标表示,再判断图形:${\rho }^2=R^2$,从而$x^2+y^2=R^2$显然是圆心为O,半径为R的圆
2. $\theta =\alpha$表示极角为$\alpha$的射线
   • 因为无论$\rho$取何值,总是在$\alpha$的终边上

直线的极坐标方程👺

• 对于一般直线$Ax+By+C=0$,可代入坐标转化公式得到$A\rho \cos \theta +B\rho \sin \theta +C=0$
• 对于满足特定条件的直线,有其独特的方程形式

例

• 设极点$O$到直线$l$的距离为$d$;由点$O$向直线$l$作垂线交$l$于点$A$,且由极轴到垂线$OA$的角度为$\alpha$,求直线$l$的极坐标方程
• 在直线$l$上任意取一点$M(\rho ,\theta )$,在直角三角形$OMA$中,$\rho \cos (\alpha -\theta )=d$即$\rho =\frac{d}{\cos (\alpha -\theta )}$
  • 当$\alpha =0$时直线$l$和极轴垂直,此时方程变为$\rho \cos \theta =d$,
  • 当$\alpha =\frac{\pi }{2}$时,直线$l$和极轴平行,此时方程变为$\rho \sin \theta =d$
  • 若$d=0$,则直线过极点,设此时直线与极轴的夹角为${\theta }_0$则直线方程为$\theta ={\theta }_0$和$\theta ={\theta }_0+\pi$
• 可见,直线极坐标方程形式比普通方程复杂,因此只有在特殊情况下采用直线的极坐标方程

圆的极坐标方程

圆心为$(a,0)$处且过极点的圆

• $\rho =R\cos \theta$,$(-\frac{\pi }{2}⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2})$
  • 可以用描点法做出方程的草图,事实上,这是一个圆,圆心为$(R,0)$;半径为$R$
  • 从对称性的角度分析,该方程满足$\rho (-\theta )$=$\rho (\theta )$所以其关于极轴对称
  • 意味着草图只要列出$0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$范围内的部分即可通过对称得到另一半$(-\frac{\pi }{2}⩽\theta ⩽0)$

推导方式1

• 使用圆的内接直角三角形来推导,这里圆心不在极点上,而在$(a,0)$上,并设半径为$a$

• 直角坐标系$xOy$上圆心在极轴上的点$(a,0)$处,且圆过极点$O$;$P$为圆与极轴的另一交点

• $M(\rho ,\theta )$时为圆上的动点,连接$OM,MP$;由平面几何知识可知$OM\perp MP$;

• 在直角三角形$OMP$中,由三角知识:$\rho =2a\cos \theta$,$(-\frac{\pi }{2}⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2})$

推导方式2

• 由圆的直角坐标方程,在化为极坐标方程:
  • 在直角坐标系$xOy$上,设圆$A$的半径为$a$圆心在$(a,0)$位置上
  • 则圆$A$的普通方程为$(x-a{)}^2+y^2=a^2$,化为一般方程为:$x^2+y^2=2ax$
  • 由坐标变换公式,${\rho }^2=2a\rho \cos \theta$,即$\rho =2a\cos \theta$

圆的极坐标化为直角坐标方程

• 以$\rho =2a\cos \theta$情形为例,
  • 由上述讨论可知,方程中得$a$给出了圆得半径为$a$,圆心为$(a,0)$的信息,而这两个信息足够我们写出相应的直角坐标方程
  • 若以推导的方式转换:原方程两边同时乘以$\rho$,的${\rho }^2=2a\rho \cos \theta$,再利用极坐标和直角坐标的变换公式,得$x^2+y^2=2ax$,即$(x-a{)}^2+y^2$=$a^2$

例

• 求圆心为$(3,0)$,半径为3(过极点)的圆的极坐标方程
• 由圆的极坐标公式:$\rho =2\times 3\cos \theta$=$6\cos \theta$,$(-\frac{\pi }{2}⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2})$

圆心在点$(a,\frac{\pi }{2})$处且过极点的圆

• 类似上一种情况,也有两种方法推导方法,都可以得到:$\rho =2a\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$=$2a\sin \theta$,$0⩽\theta ⩽\pi$
  • 使用内接直角三角形的三角关系时分$0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$和$\frac{\pi }{2}<\theta ⩽\pi$两种情况讨论,均有$\rho =2a\sin \theta$成立
  • 使用直角坐标方程$x^2+(y-a{)}^2=a^2$,代入变换公式可得$\rho =2a\sin \theta$,$(0⩽\theta ⩽\pi )$

例

• 求圆心为$(2,\frac{\pi }{2})$且过极点的圆的极坐标方程和直角坐标方程
• 解:
  • 由公式可知,该圆的极坐标方程为$\rho =4\sin \theta$,$(0⩽\theta ⩽\pi )$
  • 方程两边同时乘以$\rho$,得${\rho }^2=4\rho \sin \theta$,由坐标变换公式,$x^2+y^2=4y$

圆心在任意处的圆的方程

• 平面直角坐标系$xOy$的坐标$O^{\prime }(a,b)$为圆心,$R$为半径的圆$O^{\prime }$的方程是$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$
• 推导方式1:我们用坐标系平移的方法解释这个方程
  • 在$O^{\prime }$处为坐标原点,分别以$x,y$轴正方向为$x^{\prime },y^{\prime }$轴正方向,建立直角坐标系$x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }$
  • 则圆$O^{\prime }$的方程为$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=R^2$(1)
  • 由直角坐标平移公式$x^{\prime }=x-a$;$y^{\prime }=y-b$;代入(1)得$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$(2)
• 推导方式2:利用圆的几何特征来建立方程,即圆上的点$P(x,y)$到圆心$(a,b)$的距离为半径$R$:$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$
• 对于方程(2),由直角坐标和极坐标变换公式,可以得到$(\rho \cos \theta -a{)}^2+(\rho \sin \theta -b{)}^2$=$R^2$(3),这就是任意位置$(a,b)$任意半径$R$的圆的极坐标方程
  • 公式(3):${\rho }^2-2(a\cos \theta +b\sin \theta )+a^2+b^2-R^2=0$

小结

• 当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时,要建立圆的极坐标方程,通常将建立的极坐标的极点放置在圆心$(x_0,y_0)$处,极轴与$x$轴同向
• 如此圆的坐标方程就是$\rho =R$

例

• 写出圆心在点$(-1,1)$处,且过原点的圆的直角坐标方程;并把它化为极坐标方程
  • 显然该圆的半径为$R=\sqrt{2}$,直角坐标方程为$(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=2$,即$x^2+y^2=-2(x-y)$
  • 在用坐标变换公式得${\rho }^2=-2(\rho \cos \theta -\rho \sin \theta )$,即$\rho =2(\sin \theta -\cos \theta )$

应用

利用极坐标求轨迹方程

• 从极点作圆$A:\rho =2a\cos \theta$的弦,求各条弦中点的轨迹方程
• 设圆$A$上的点$P(\rho ,\theta )$,则$OP$是圆$A$的弦,设其中点为$M(r,\varphi )$,则$(r,\varphi )=(\frac{1}{2}\rho ,\theta )$,即$\rho =2r$,$\theta =\varphi$
• 而$\rho =2a\cos \theta$,所以$2r=2a\cos \varphi$,即有$B:r=a\cos \varphi$,$(-\frac{\pi }{2}⩽\varphi ⩽\frac{\pi }{2})$
• 可见方程$B$是一个以$(\frac{1}{2}a,0)$为圆心;半径$\frac{1}{2}a$的圆

极坐标和圆锥曲线👺

• 三种圆锥曲线的共同几何特征是:圆锥曲线是某定点(焦点)和某定制线(准线)的距离之比等于常数(离心率)的点的轨迹
• 圆锥曲线极坐标方程可以统一为一种形式:$\rho =\frac{p}{1-e\cos \theta }$;$(e,p)$为参数,$\theta$为方程的变量

推导

• 以平面上的一个点(焦点)$O$为极点,$Ox$为极轴建立极坐标系(Note:这里的$O$不同于直角坐标系的圆点(0,0),而是极坐标系的极点)
  • 以抛物线为例,极点建在抛物线的焦点而不是顶点上
• $Ox$与准线$l$垂直,极轴所在的直线与$l$交于点$D$;
• 设曲线方程为$\rho =\rho (\theta )$,在曲线上任取一点$M(\rho ,\theta )$,
  • 过点$M$作$MN$垂直于$l$于点$N$
  • 过极点$O$作$OE$垂直于$MN$于点$E$;
  • $OE$交曲线于$A$点,再作$AB//MN$,$B$点是直线$AB$和$l$的交点
• 记$|OA|=p$,当离心率$e,p$给定后,圆锥曲线就完全确定了
• 令$\frac{|OA|}{|BA|}=e$;$\frac{|OM|}{|NM|}=e$;$|DO|$=$|BA|$=$d_1$,$|MN|=d_2$,$|EM|=d_3$=$\rho \cos \theta$
• 其中$|OM|=\rho$,$|OA|=p$,$\angle MOx=\theta$,则$\frac{p}{d_1}=\frac{\rho }{d_2}=e$;所以$d_1=\frac{p}{e}$,$d_2=\frac{\rho }{e}$
• 由几何关系:$|MN|=|BA|+|EM|$,即$d_2=d_1+d_3$,即$\frac{\rho }{e}=\frac{p}{e}+\rho \cos \theta$
• 变形为$\rho =\frac{p}{1-e\cos \theta }$

根据离心率分类圆锥曲线

• 方程$\rho =\frac{p}{1-e\cos \theta }$中的参数$e$确定了曲线的3个类型
  • $e<1$时为椭圆
  • $e=1$时为抛物线
  • $e>1$时为双曲线

形状参数

• 参数$p$则确定了各类曲线的形状
  • 对于抛物线而言,$p$就是标准方程$y^2=2px$中的$p$,表示焦点到准线的距离
  • 对椭圆和双曲线而言,可以用半轴$a,b$表示$p$
  • 焦点到准线的距离为$|\frac{a}{e}-c|$,所以$\frac{p}{e}=|\frac{a}{e}-c|$
  • $p=|a-ce|$=$|a-c\cdot \frac{c}{a}|$=$\frac{|a^2-c^2|}{a}$,即$p=\frac{b^2}{a}$