【算法】二分答案

相关链接

【力扣周赛】第 362 场周赛（⭐差分&匹配&状态压缩DP&矩阵快速幂优化DP&KMP）里面有一些二分答案的题目。
【力扣周赛】第 363 场周赛（完全平方数和质因数分解） T3是二分答案。

什么时候使用二分答案？

看到「最大化最小值」或者「最小化最大值」就要想到二分答案，这是一个固定的套路。

或者

答案不好直接求，但是可以判断某个数字是否可以满足题目要求且单调时。

具体看下面例题体会一下即可。

题目列表

最大化最小化相关题目列表📕

题目列表来源：https://leetcode.cn/problems/maximize-the-minimum-powered-city/solutions/2050272/er-fen-da-an-qian-zhui-he-chai-fen-shu-z-jnyv/

2439. 最小化数组中的最大值

https://leetcode.cn/problems/minimize-maximum-of-array/

提示：
n == nums.length
2 <= n <= 10^5
0 <= nums[i] <= 10^9

解法1——二分答案

class Solution {
    public int minimizeArrayValue(int[] nums) {
        int l = Integer.MAX_VALUE, r = Integer.MIN_VALUE;
        for (int x: nums) {
            l = Math.min(l, x);
            r = Math.max(r, x);
        }
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(mid, nums)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return l;
    }

    public boolean check(int k, int[] nums) {
        if (nums[0] > k) return false;
        long d = k - nums[0];           // 使用long防止溢出
        for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
            if (nums[i] <= k) d += k - nums[i];
            else {
                d -= nums[i] - k;
                if (d < 0) return false;
            }
        }
        return true;
    }
}
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解法2——分类讨论O(n)

首先最大值的最小值是 nums[0]。
对于 nums[1]，当其 < nums[0] 时，答案还是 nums[0]；当其 > nums[0] 时，则答案是两者的平均向上取整。

class Solution {
    public int minimizeArrayValue(int[] nums) {
        long mx = 0, sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; ++i) {
            sum += nums[i];
            // (sum + i) / (i + 1) 是因为要向上取整
            mx = Math.max(mx, (sum + i) / (i + 1));     
        }
        return (int)mx;
    }
}
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2513. 最小化两个数组中的最大值（二分答案+lcm+容斥原理）🐂好题！

https://leetcode.cn/problems/minimize-the-maximum-of-two-arrays/

提示：
2 <= divisor1, divisor2 <= 10^5
1 <= uniqueCnt1, uniqueCnt2 < 10^9
2 <= uniqueCnt1 + uniqueCnt2 <= 10^9

二分答案。

class Solution {
    public int minimizeSet(int divisor1, int divisor2, int uniqueCnt1, int uniqueCnt2) {
        long l = 0, r = (long)Integer.MAX_VALUE;
        while (l < r) {
            long mid = l + r >> 1;
            // 两个数组不能选择的数字数量
            long x = mid / divisor1, y = mid / divisor2, z = mid / lcm(divisor1, divisor2);
            long sum = uniqueCnt1 + uniqueCnt2 + z;         // 至少需要的数字数量
            // arr1不能使用的，看arr2能不能使用；反之同理
            sum += Math.max(0, x - z - uniqueCnt2) + Math.max(0, y - z - uniqueCnt1);
            if (sum <= mid) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return (int)l;
    }

    // 最小公倍数
    public long lcm(long x, long y) {
        return x / gcd(x, y) * y;
    }

    // 最大公因数
    public long gcd(long x, long y) {
        return y == 0? x: gcd(y, x % y);
    }
}
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相似题目（容斥原理+二分查找）

878. 第 N 个神奇数字

https://leetcode.cn/problems/nth-magical-number/

答案可能会很大，所以先将变量设置成 long 类型。

class Solution {
    final long MOD = (long)1e9 + 7;

    public int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
        long c = lcm(a, b);
        long l = 2, r = Long.MAX_VALUE - 2;
        while (l < r) {
            long mid = l + r >> 1;
            long x = mid / a, y = mid / b, z = mid / c;
            long s = x + y - z;			// 容斥原理
            if (s < n) l = mid + 1;
            else r = mid;
        }
        return (int)(l % MOD);
    }

    public long lcm(long a, long b) {
        return a * b / gcd(a, b);
    }

    public long gcd(long a, long b) {
        return b == 0? a: gcd(b, a % b);
    }
}
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1201. 丑数 III

https://leetcode.cn/problems/ugly-number-iii/description/

提示：
1 <= n, a, b, c <= 10^9
1 <= a * b * c <= 10^18
本题结果在 [1, 2 * 10^9] 的范围内

注意这题也要先使用 long 数据类型。

class Solution {
    public int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c) {
        // 注意要转成long
        long x = lcm(a, b), y = lcm(b, c), z = lcm(a, c), q = lcm(x, y);
        long l = 1, r = (long)2e9;
        while (l < r) {
            long mid = l + r >> 1;
            long aa = mid / a, bb = mid / b, cc = mid / c, xx = mid / x, yy = mid / y, zz = mid / z, qq = mid / q;
            // 容斥原理
            long s = aa + bb + cc - xx - yy - zz + qq;
            if (s < n) l = mid + 1;
            else r = mid;
        }
        return (int)l;
    }

    // 求最小公倍数
    public long lcm(long a, long b) {
        return a / gcd(a, b) * b;
    }

    // 求最大公因数
    public long gcd(long a, long b) {
        return b == 0? a: gcd(b, a % b);
    }
}
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2517. 礼盒的最大甜蜜度（二分答案）

https://leetcode.cn/problems/maximum-tastiness-of-candy-basket/

提示：
2 <= k <= price.length <= 10^5
1 <= price[i] <= 10^9

class Solution {
    public int maximumTastiness(int[] price, int k) {
        Arrays.sort(price);
        int n = price.length, l = 0, r = price[n - 1] - price[0];
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            int s = 1, last = price[0];
            for (int i = 1; i < n && s < k; ++i) {
                if (price[i] - last >= mid) {
                    s++;
                    last = price[i];
                }
            }
            if (s < k) r = mid - 1;
            else l = mid;
        }
        return l;
    }
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