线性dp，274. 移动服务，《算法竞赛进阶指南》

274. 移动服务 - AcWing题库

一个公司有三个移动服务员，最初分别在位置 1，2，3 处。

如果某个位置（用一个整数表示）有一个请求，那么公司必须指派某名员工赶到那个地方去。

某一时刻只有一个员工能移动，且不允许在同样的位置出现两个员工。

从 p 到 q 移动一个员工，需要花费 c(p,q)。

这个函数不一定对称，但保证 c(p,p)=0。

给出 N 个请求，请求发生的位置分别为 p1∼pN。

公司必须按顺序依次满足所有请求，且过程中不能去其他额外的位置，目标是最小化公司花费，请你帮忙计算这个最小花费。

输入格式

第 1 行有两个整数 L,N，其中 L 是位置数量，N 是请求数量，每个位置从 1 到 L 编号。

第 2 至 L+1 行每行包含 L 个非负整数，第 i+1 行的第 j 个数表示 c(i,j)，并且它小于 2000。

最后一行包含 N 个整数，是请求列表。

一开始三个服务员分别在位置 1，2，3。

输出格式

输出一个整数 M，表示最小花费。

数据范围

3≤L≤200
1≤N≤1000

输入样例：

5 9
0 1 1 1 1
1 0 2 3 2
1 1 0 4 1
2 1 5 0 1
4 2 3 4 0
4 2 4 1 5 4 3 2 1

输出样例：

5

 解析

用当前状态更新依赖他的状态

AcWing 274. 移动服务 - AcWing

我首先想到的将集合划分为 f[i][j][k] 表示第一个服务员在位置 i ，第二个服务员在位置 j ，第三个服务员在位置 k，的最小花费；

这是一个不重不漏的子集，但这种划分方式没法写出状态转移方程；

所以我们必须想出另一种集合的划分方式：我们观察发现服务员所在的位置和询问的信息有关，上述的第一种划分方式我们甚至无法知道最终答案是哪个状态。

发现这一性质后，我们划分的状态就可以包含询问这一信息，至此我们就可以将状态划分

f[i][x][y][z] 表示：表示第 i 次询问后，有一个服务员在 x ，另一个服务员在 y ，还有一个在 z ，的最小花费。

这里我们可以优化一下，易知，在第 i 次访问完后，三个服务员中必有一个下位置 p[i] ，不妨让 z 表示最后更新的位置，这样我们就可以将4维压缩成为3维:

f[i][x][y] 表示 表示第 i 次询问后，有一个服务员在 x ，另一个服务员在 y ，还有一个在 z ，的最小花费。其中 z 就是 p[i] ,这里将其省略

状态转移：

我们发现 f[i][x][y] 的前一个状态有很多种，但它的下一种状态却只有三种，所以这里使用另一种状态转移方式：由当前的更新下一个状态，而非由前一个状态更新当前状态

f[i + 1][x][y] = min(f[i + 1][x][y], f[i][x][y] + w[z][u]);
f[i + 1][z][y] = min(f[i + 1][z][y], f[i][x][y] + w[x][u]);
f[i + 1][x][z] = min(f[i + 1][x][z], f[i][x][y] + w[y][u]);

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e2 + 5, M = 1e3 + 5;
int L, n;
int p[M],w[N][N];
int f[M][N][N];
 
int main() {
	scanf("%d%d", &L, &n);
	for (int i = 1; i <= L; i++) {
		for (int j = 1; j <= L; j++) {
			scanf("%d", &w[i][j]);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &p[i]);
	}
	p[0] = 3;
	memset(f, 0x3f3f3f3f, sizeof(f));
	f[0][1][2] = 0;
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		for (int x = 1; x <= L; x++) {
			for (int y = 1; y <= L; y++) {
				int z = p[i], u = p[i + 1];//第四维是最近一次配更新的位置
				if (x == y || y == z || z == x)continue;
				f[i + 1][x][y] = min(f[i + 1][x][y], f[i][x][y] + w[z][u]);
				f[i + 1][z][y] = min(f[i + 1][z][y], f[i][x][y] + w[x][u]);
				f[i + 1][x][z] = min(f[i + 1][x][z], f[i][x][y] + w[y][u]);
			}
		}
	}
	int ans = 0x3f3f3f3f,z=p[n];
	for (int x = 1; x <= L; x++) {
		for (int y = 1; y <= L; y++) {
			
			if (x == y || y == z || z == x)continue;
			ans = min(ans, f[n][x][y]);
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}