动态规划——多重背包

        多重背包是有N种物品和一个容量为V 的背包，第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi ，求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。多重背包和01背包很像，将多重背包里的物品全部摊开就是01背包了。

4. 多重背包问题 I - AcWing题库

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

思路：多重模板题，动规五步法分析一下：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：表示体积为 j 的情况下的最大价值

2.确定递推公式

 还是可以分为选和不选的情况，选又有选几件的情况，所以我们再增加一次循环枚举物品的选举次数，因此可得到状态转移方程：dp[j] = max(dp[j], dp[j - v * k] + w * k);

3.dp数组如何初始化

体积为0就是什么都没有选，价值也为0，即dp[0] = 0

4.确定遍历顺序

刚刚说过，多重背包其实可以摊开成01背包，所以前两层遍历和做01背包一样，先枚举物品，然后从大到小枚举物品，再增加一层循环用来枚举当前物品的选了多少次，注意一下不能超过当前规定的容量大小即可。

5.举例推导dp数组

代码如下：

#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
 
const int N = 20010;
 
int n, V;
int dp[N];
 
int main()
{
    cin >> n >> V;
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        for(int j = V; j >= 0; j -- )
            for(int k = 1; k <= s && v * k <= j; k ++ )
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - v * k] + w * k);
    }
    cout << dp[V];
    return 0; 
}

1019. 庆功会 - AcWing题库

6. 多重背包问题 III - AcWing题库