29. 一道简单背包题

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题目

思路

注意事项

 C++完整代码

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题目

Description
龙神有很多背包，每一个背包都有一个容积。但是这些背包的容积都恰好是一个数字的整数倍，比如,，等等。并且对于任意，容积为的背包都存在。
龙神有一些物品要装进背包，第个物品占据的体积。现在，龙神想选出一些物品，使得存在一个背包可以恰好放下这些物品，并且这个背包放满。
龙神想知道这样的取法有多少个，请你帮他算一算吧？由于取法很多，你只需要输出取法的末七位数，没有前导零，即可（即对10000000取模）。
Input
第一行两个数，分别表示物品数和背包体积的基数。
第二行个数，分别表示每个物品的体积。
Output
输出一行一个数，表示取法总数的末七位。

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思路

1.确定dp数组及其下标的含义

dp数组用于记录背包容量为j时的取法总数，其下标表示背包容量。

数组dp的长度为2*V+1，其中V是背包体积的基数。

2.确定递推公式

对于每个物品i，背包容量j，存在递推公式dp[j] = dp[j] + dp[j - p[i]]。其中，dp[j]代表当前背包容量j下的取法总数，dp[j-p[i]]表示加上当前物品体积后的背包容量（即j-p[i]）下的取法总数。

3.dp数组初始化

首先将dp数组所有元素都初始化为0。然后初始化dp[0] = 1，表示背包容量为0时有一种取法。

4.遍历顺序

使用两个嵌套的for循环进行遍历。

外层循环遍历每个物品，内层循环从背包容量的最大值2V递减到物品体积p[i]。

这种遍历顺序确保在计算dp[j]时，可以利用上一轮计算的dp[j-p[i]]的值。另外，为了保证在更新dp[j]时，不影响后续计算，第二个内层循环是从2V递减到p[i]的，这样可以避免重复更新dp[j-p[i]]

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注意事项

1. 题目要求输出取法总数的末七位数，即对结果取模10000000。在代码中，对dp数组元素进行累加操作时，要注意取模运算，以防止数值溢出。

2. 题目给出了背包容量的基数V，即背包容量都是V的整数倍。在读取每个物品的体积后，需要对其进行取模运算，以保证它们都能装进背包，如果取模结果为0，则将其置为V。

3. 使用long long存储数据

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 C++完整代码

#include 
#include 
using namespace std;
 
int main() {
    int n, V;
    cin >> n >> V;
 
    // 创建一个长度为n+1的数组p来存储每个物品的体积
    vector<long long> p(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> p[i];
        p[i] %= V;
        if (p[i] == 0)
            p[i] = V;
    }
 
    // 初始化dp数组，长度为2*V+1，用来记录背包容积为i时的取法总数
    vector<long long> dp(2 * V + 1, 0);
    dp[0] = 1;
 
    // 动态规划求解
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 2 * V; j >= p[i]; j--) {
            // 更新dp[j]为原来的值加上dp[j-p[i]]
            dp[j] = (dp[j] + dp[j - p[i]]) % 10000000;
        }
 
        for (int j = 2 * V; j >= p[i]; j--) {
            if (j > V) {
                // 如果背包容积j大于V，则将dp[j-V]加上dp[j]，并将dp[j]置为0
                dp[j - V] = (dp[j - V] + dp[j]) % 10000000;
                dp[j] = 0;
            }
        }
    }
 
    // 输出答案，即背包容积为V时的取法总数的末七位数
    cout << dp[V] % 10000000 << endl;
    return 0;
}