统计信号处理基础 习题解答6-11

题目：

考虑WSS中估计DC电平问题，给定

其中 是零均值WSS随机过程，ACF为 ，估计A。建议在 时用图6.5所示的FIR滤波器的输出来估计A。注意估计量为：

输入 假定在n<0 时为零。为了得到更好的估计量，我们希望有一个滤波器，它让DC信号A通过，但阻值噪声 。因此我们选择 为约束条件，通过选择FIR滤波器的系数 ，使得输出的噪声功率在 时达到最小。求最佳滤波器系统和最佳滤波器输出端的最小噪声功率，解释你的结果。

解答

根据数字信号处理知识，输入序列 经过FIR滤波器 之后，输出序列 可以表示为：

数字信号处理卷积，可以参考：

什么是卷积 - 知乎

根据题目，输出在n=N-1 上观测，那么得到：

再考虑到 和 的序列取值后，得到：

根据题目，用 去估计 。

代入 后得到：

因此，中的噪声分量为：

因此，输出序列在N-1 出的噪声功率为：

 其中

考虑到FIR滤波器的系统函数可以表示成：

 

而 时 就是FIR滤波器的频率响应，相关系统函数可以参考：系统函数,频率响应定义_shawn_shao的博客-CSDN博客_系统频率响应

根据题目条件，直流信号（频率为0）要能够无变化通过，即ω=0 时，存在：

其中：

汇总上述条件，此题目就是在 条件下，求 的最小值。

对比BLUE的推导过程，可以得到其中的s=1 ，a=h ,因此：

​​​​​​​此时最小的噪声功率为：

 

如果此时考虑 的估计方差，即：

对比可以发现 与输出端噪声功率相同，此时最小输出噪声功率，也就约束了最小的 估计方差。

    因此，我们可以这么认为：通过考察 的BLUE估计，得到方差最小情况下的系数 ，而在数字信号领域内实现上述BLUE估计的时候，该系数也就是FIR滤波器的抽头系数，两者是一致的。