• 算法提升：图的启发式搜索算法（A算法、A*算法）

    启发式搜索算法

    目录

    概念

    A算法

    A*算法

    概念

    启发式搜索(Heuristically Search)又称为有信息搜索(Informed Search)，它是利用问题拥有的启发信息来引导搜索，达到减少搜索范围、降低问题复杂度的目的，这种利用启发信息的搜索过程称为启发式搜索。

    从数据结构与算法的角度去思考这个算法，启发式算法也是贪心算法的一种，启发信息的选取就是贪心策略的选取，倒过来也可以讲，所有的贪心算法也算是状态机中的启发式搜索算法。

    用于评价节点重要性的函数称为估价函数，其一般形式为

     

    式中：g(x)为从初始节点到节点x付出的实际代价；h(x)为从节点x到目标节点的最优路径的估计代价。启发性信息主要体现在h(x)中，其形式要根据问题的特性来确定。

    虽然启发式搜索有望能够很快到达目标节点，但需要花费一些时间来对新生节点进行评价。因此，在启发式搜索中，估计函数的定义是十分重要的。如定义不当，则上述搜索算法不一定能找到问题的解，即使找到解，也不一定是最优的。

    A算法

    概念

    在状态空间搜索中，如果每一步都利用估价函数 f(n)=g(n)+h(n) 对Open表中的结点进行排序，则称A算法。它是一种为启发式搜索算法。

    算法类型：

    全局择优： 从Open表的所有结点中选择一个估价函数值最小的进行扩展。

    局部择优：仅从刚生成的子结点中选择一个估价函数值最小的进行扩展。

    算法流程

    （全局择优）

    • ①将初始节点S0放入Open表中；
    • ②如Open表为空，则搜索失败，退出；
    • ③把Open表的第一个节点取出，放入到Closed表中，并把该节点记为节点n；
    • ④如果节点n是目标节点，则搜索成功，求得一个解，退出；
    • ⑤扩展节点n，生成一组子节点，对既不在Open表中也不在Closed表中的子节点，计算出相应的估价函数值；
    • ⑥把节点n的子节点放到Open表中；
    • ⑦对Open表中的各节点按估价函数值从小到大排列；
    • ⑧转到②。

    （局部择优）

    • ①将初始节点S0放入Open表中；
    • ②如Open表为空，则搜索失败，退出；
    • ③把Open表的第一个节点取出，放入到Closed表中，并把该节点记为节点n；
    • ④如果节点n是目标节点，则搜索成功，求得一个解，退出；
    • ⑤扩展节点n，生成一组子节点，对既不在Open表中也不在Closed表中的子节点，计算出相应的估价函数值；
    • ⑥对节点n的子节点按估价函数值从小到大排列，选择第一个元素，作为新的节点n，把剩余节点让入open表中；
    • ⑦对Open表中的各节点按估价函数值从小到大排列；
    • ⑧转到④

    对上述算法分析可以发现，如果取估价函数等于节点深度，则它将退化为广度优先搜索。

    A*算法

    概念

    在A*算法中，启发性信息用一个特别的估价函数f*来表示：f*(x)=g*(x)+h*(x)

    式中：g*(x)为从初始节点到节点x的最佳路径所付出的代价；h*(x)是从x到目标节点的最佳路径所付出的代价；f*(x)是从初始节点出发通过节点x到达目标节点的最佳路径的总代价。

    基于上述g*(x)和h*(x)的定义，对启发式搜索算法中的g(x)和h(x)做如下限制：

    ①g(x)是对g*(x)的估计，且g(x)>0；

    ②h(x)是h*(x)的下界，即对任意节点x均有h(x)≤h*(x)。

    在满足上述条件情况下的有序搜索算法称为A*算法。

    对于某一搜索算法，当最佳路径存在时，就一定能找到它，则称此算法是可纳的。可以证明，A*算法是可纳算法。也就是说，对于有序搜索算法，当满足h(x)≤h*(x)条件时，只要最佳路径存在，就一定能找出这条路径。

    距离估计与实际值越接近，估价函数取得就越好

    例如对于几何路网来说，可以取两节点间曼哈顿距离做为距离估计，即f=g(n) + (abs(dx - nx) + abs(dy - ny))；这样估价函数f(n)在g(n)一定的情况下，会或多或少的受距离估计值h(n)的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于Dijkstra算法的毫无方向的向四周搜索。


    算法流程

    如图所示简易地图, 其中绿色方块的是起点 (用 A 表示), 中间蓝色的是障碍物, 红色的方块 (用 B 表示) 是目的地. 为了可以用一个二维数组来表示地图, 我们将地图划分成一个个的小方块.

    二维数组在游戏中的应用是很多的, 比如贪吃蛇和俄罗斯方块基本原理就是移动方块而已. 而大型游戏的地图, 则是将各种"地貌"铺在这样的小方块上.


    1. 从起点A开始, 把它作为待处理的方格存入一个"开启列表", 开启列表就是一个等待检查方格的列表.

    2. 寻找起点A周围可以到达的方格, 将它们放入"开启列表", 并设置它们的"父方格"为A.

    3. 从"开启列表"中删除起点 A, 并将起点 A 加入"关闭列表", "关闭列表"中存放的都是不需要再次检查的方格

    图中浅绿色描边的方块表示已经加入 "开启列表" 等待检查. 淡蓝色描边的起点 A 表示已经放入 "关闭列表" , 它不需要再执行检查.

    从 "开启列表" 中找出相对最靠谱的方块, 什么是最靠谱? 它们通过公式 F=G+H 来计算.

    我们假设横向移动一个格子的耗费为10, 为了便于计算, 沿斜方向移动一个格子耗费是14. 为了更直观的展示如何运算 FGH, 图中方块的左上角数字表示 F, 左下角表示 G, 右下角表示 H. 看看是否跟你心里想的结果一样?

    从 "开启列表" 中选择 F 值最低的方格 C (绿色起始方块 A 右边的方块), 然后对它进行如下处理:

    4. 把它从 "开启列表" 中删除, 并放到 "关闭列表" 中.

    5. 检查它所有相邻并且可以到达 (障碍物和 "关闭列表" 的方格都不考虑) 的方格. 如果这些方格还不在 "开启列表" 里的话, 将它们加入 "开启列表", 计算这些方格的 G, H 和 F 值各是多少, 并设置它们的 "父方格" 为 C.

    6. 如果某个相邻方格 D 已经在 "开启列表" 里了, 检查如果用新的路径 (就是经过C 的路径) 到达它的话, G值是否会更低一些, 如果新的G值更低, 那就把它的 "父方格" 改为目前选中的方格 C, 然后重新计算它的 F 值和 G 值 (H 值不需要重新计算, 因为对于每个方块, H 值是不变的). 如果新的 G 值比较高, 就说明经过 C 再到达 D 不是一个明智的选择, 因为它需要更远的路, 这时我们什么也不做.

    如图, 我们选中了 C 因为它的 F 值最小, 我们把它从 "开启列表" 中删除, 并把它加入 "关闭列表". 它右边上下三个都是墙, 所以不考虑它们. 它左边是起始方块, 已经加入到 "关闭列表" 了, 也不考虑. 所以它周围的候选方块就只剩下 4 个. 让我们来看看 C 下面的那个格子, 它目前的 G 是14, 如果通过 C 到达它的话, G将会是 10 + 10, 这比 14 要大, 因此我们什么也不做.

    然后我们继续从 "开启列表" 中找出 F 值最小的, 但我们发现 C 上面的和下面的同时为 54, 这时怎么办呢? 这时随便取哪一个都行, 比如我们选择了 C 下面的那个方块 D.

    D 右边已经右上方的都是墙, 所以不考虑, 但为什么右下角的没有被加进 "开启列表" 呢? 因为如果 C 下面的那块也不可以走, 想要到达 C 右下角的方块就需要从 "方块的角" 走了, 在程序中设置是否允许这样走. (图中的示例不允许这样走)

    就这样, 我们从 "开启列表" 找出 F 值最小的, 将它从 "开启列表" 中移掉, 添加到 "关闭列表". 再继续找出它周围可以到达的方块, 如此循环下去...

    那么什么时候停止呢? —— 当我们发现 "开始列表" 里出现了目标终点方块的时候, 说明路径已经被找到.

    如何找回路径

    如上图所示, 除了起始方块, 每一个曾经或者现在还在 "开启列表" 里的方块, 它都有一个 "父方块", 通过 "父方块" 可以索引到最初的 "起始方块", 这就是路径.

    代码实现

    1.  
    2. #include 
    3. #include 
    4. #include 
    5. #include 
    6.  
    7. const int kCost1=10; //直移一格消耗
    8. const int kCost2=14; //斜移一格消耗
    9.  
    10. struct Point
    11. {
    12. 	int x,y; //点坐标，这里为了方便按照C++的数组来计算，x代表横排，y代表竖列
    13. 	int F,G,H; //F=G+H
    14. 	Point *parent; //parent的坐标，这里没有用指针，从而简化代码
    15. 	Point(int _x,int _y):x(_x),y(_y),F(0),G(0),H(0),parent(NULL)  //变量初始化
    16. 	{
    17. 	}
    18. };
    19.  
    20.  
    21. class Astar
    22. {
    23. public:
    24. 	void InitAstar(std::vectorint>> &_maze);
    25. 	std::list GetPath(Point &startPoint,Point &endPoint,bool isIgnoreCorner);
    26.  
    27. private:
    28. 	Point *findPath(Point &startPoint,Point &endPoint,bool isIgnoreCorner);
    29. 	std::vector getSurroundPoints(const Point *point,bool isIgnoreCorner) const;
    30. 	bool isCanreach(const Point *point,const Point *target,bool isIgnoreCorner) const; //判断某点是否可以用于下一步判断
    31. 	Point *isInList(const std::list &list,const Point *point) const; //判断开启/关闭列表中是否包含某点
    32. 	Point *getLeastFpoint(); //从开启列表中返回F值最小的节点
    33. 	//计算FGH值
    34. 	int calcG(Point *temp_start,Point *point);
    35. 	int calcH(Point *point,Point *end);
    36. 	int calcF(Point *point);
    37. private:
    38. 	std::vectorint>> maze;
    39. 	std::list openList;  //开启列表
    40. 	std::list closeList; //关闭列表
    41. };
    42.  
    43.  
    44.  
    45. void Astar::InitAstar(std::vectorint>> &_maze)
    46. {
    47. 	maze=_maze;
    48. }
    49.  
    50. int Astar::calcG(Point *temp_start,Point *point)
    51. {
    52. 	int extraG=(abs(point->x-temp_start->x)+abs(point->y-temp_start->y))==1?kCost1:kCost2;
    53. 	int parentG=point->parent==NULL?0:point->parent->G; //如果是初始节点，则其父节点是空
    54. 	return parentG+extraG;
    55. }
    56.  
    57. int Astar::calcH(Point *point,Point *end)
    58. {
    59. 	//用简单的欧几里得距离计算H，这个H的计算是关键，还有很多算法，没深入研究^_^
    60. 	return sqrt((double)(end->x-point->x)*(double)(end->x-point->x)+(double)(end->y-point->y)*(double)(end->y-point->y))*kCost1;
    61. }
    62.  
    63. int Astar::calcF(Point *point)
    64. {
    65. 	return point->G+point->H;
    66. }
    67.  
    68. Point *Astar::getLeastFpoint()
    69. {
    70. 	if(!openList.empty())
    71. 	{
    72. 		auto resPoint=openList.front();
    73. 		for(auto &point:openList)
    74. 			if(point->FF)
    75. 				resPoint=point;
    76. 		return resPoint;
    77. 	}
    78. 	return NULL;
    79. }
    80.  
    81. Point *Astar::findPath(Point &startPoint,Point &endPoint,bool isIgnoreCorner)
    82. {
    83. 	openList.push_back(new Point(startPoint.x,startPoint.y)); //置入起点,拷贝开辟一个节点，内外隔离
    84. 	while(!openList.empty())
    85. 	{
    86. 		auto curPoint=getLeastFpoint(); //找到F值最小的点
    87. 		openList.remove(curPoint); //从开启列表中删除
    88. 		closeList.push_back(curPoint); //放到关闭列表
    89. 		//1,找到当前周围八个格中可以通过的格子
    90. 		auto surroundPoints=getSurroundPoints(curPoint,isIgnoreCorner);
    91. 		for(auto &target:surroundPoints)
    92. 		{
    93. 			//2,对某一个格子，如果它不在开启列表中，加入到开启列表，设置当前格为其父节点，计算F G H
    94. 			if(!isInList(openList,target))
    95. 			{
    96. 				target->parent=curPoint;
    97.  
    98. 				target->G=calcG(curPoint,target);
    99. 				target->H=calcH(target,&endPoint);
    100. 				target->F=calcF(target);
    101.  
    102. 				openList.push_back(target);
    103. 			}
    104. 			//3，对某一个格子，它在开启列表中，计算G值, 如果比原来的大, 就什么都不做, 否则设置它的父节点为当前点,并更新G和F
    105. 			else
    106. 			{
    107. 				int tempG=calcG(curPoint,target);
    108. 				if(tempGG)
    109. 				{
    110. 					target->parent=curPoint;
    111.  
    112. 					target->G=tempG;
    113. 					target->F=calcF(target);
    114. 				}
    115. 			}
    116. 			Point *resPoint=isInList(openList,&endPoint);
    117. 			if(resPoint)
    118. 				return resPoint; //返回列表里的节点指针，不要用原来传入的endpoint指针，因为发生了深拷贝
    119. 		}
    120. 	}
    121.  
    122. 	return NULL;
    123. }
    124.  
    125. std::list Astar::GetPath(Point &startPoint,Point &endPoint,bool isIgnoreCorner)
    126. {
    127. 	Point *result=findPath(startPoint,endPoint,isIgnoreCorner);
    128. 	std::list path;
    129. 	//返回路径，如果没找到路径，返回空链表
    130. 	while(result)
    131. 	{
    132. 		path.push_front(result);
    133. 		result=result->parent;
    134. 	}
    135.  
    136.     // 清空临时开闭列表，防止重复执行GetPath导致结果异常
    137.     openList.clear();
    138. 	closeList.clear();
    139.  
    140. 	return path;
    141. }
    142.  
    143. Point *Astar::isInList(const std::list &list,const Point *point) const
    144. {
    145. 	//判断某个节点是否在列表中，这里不能比较指针，因为每次加入列表是新开辟的节点，只能比较坐标
    146. 	for(auto p:list)
    147. 		if(p->x==point->x&&p->y==point->y)
    148. 			return p;
    149. 	return NULL;
    150. }
    151.  
    152. bool Astar::isCanreach(const Point *point,const Point *target,bool isIgnoreCorner) const
    153. {
    154. 	if(target->x<0||target->x>maze.size()-1
    155. 		||target->y<0||target->y>maze[0].size()-1
    156. 		||maze[target->x][target->y]==1
    157. 		||target->x==point->x&&target->y==point->y
    158. 		||isInList(closeList,target)) //如果点与当前节点重合、超出地图、是障碍物、或者在关闭列表中，返回false
    159. 		return false;
    160. 	else
    161. 	{
    162. 		if(abs(point->x-target->x)+abs(point->y-target->y)==1) //非斜角可以
    163. 			return true;
    164. 		else
    165. 		{
    166. 			//斜对角要判断是否绊住
    167. 			if(maze[point->x][target->y]==0&&maze[target->x][point->y]==0)
    168. 				return true;
    169. 			else
    170. 				return isIgnoreCorner;
    171. 		}
    172. 	}
    173. }
    174.  
    175. std::vector Astar::getSurroundPoints(const Point *point,bool isIgnoreCorner) const
    176. {
    177. 	std::vector surroundPoints;
    178.  
    179. 	for(int x=point->x-1;x<=point->x+1;x++)
    180. 		for(int y=point->y-1;y<=point->y+1;y++)
    181. 			if(isCanreach(point,new Point(x,y),isIgnoreCorner))
    182. 				surroundPoints.push_back(new Point(x,y));
    183. 	
    184. 	return surroundPoints;
    185. }
    186.  
    187. using namespace std;
    188.  
    189. int main()
    190. {
    191. 	//初始化地图，用二维矩阵代表地图，1表示障碍物，0表示可通
    192. 	vectorint>> maze={
    193. 		{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},
    194. 		{1,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,1},
    195. 		{1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1},
    196. 		{1,0,0,0,0,0,1,0,0,1,1,1},
    197. 		{1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,0,1},
    198. 		{1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1},
    199. 		{1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1},
    200. 		{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}
    201. 	};
    202. 	Astar astar;
    203. 	astar.InitAstar(maze);
    204.  
    205. 	//设置起始和结束点
    206. 	Point start(1,1);
    207. 	Point end(6,10);
    208. 	//A*算法找寻路径
    209. 	list path=astar.GetPath(start,end,false);
    210. 	//打印
    211. 	for(auto &p:path)
    212. 		cout<<'('<x<<','<y<<')'<
    213.  
    214. 	system("pause");
    215. 	return 0;
    216. }

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/qq_32378713/article/details/128048823