哈希表题目：快乐数

题目

标题和出处

标题：快乐数

出处：202. 快乐数

难度

2 级

题目描述

要求

编写一个算法来判断一个数 $\text{n}$ 是不是快乐数。

「快乐数」定义为：

• 对于一个正整数，每一次将该数替换为它每个位置上的数字的平方和。
• 然后重复这个过程直到这个数变为 $\text{1}$，也可能是无限循环但始终变不到 $\text{1}$。
• 如果可以变为 $\text{1}$，那么这个数就是快乐数。

如果 $\text{n}$ 是快乐数就返回 $\text{true}$；不是，则返回 $\text{false}$。

示例

示例 1：

输入：$\text{n = 19}$
输出：$\text{true}$
解释：
${\text{1}}^{\text{2}}+{\text{9}}^{\text{2}}=\text{82}$
${\text{8}}^{\text{2}}+{\text{2}}^{\text{2}}=\text{68}$
${\text{6}}^{\text{2}}+{\text{8}}^{\text{2}}=\text{100}$
${\text{1}}^{\text{2}}+{\text{0}}^{\text{2}}+{\text{0}}^{\text{2}}=\text{1}$

示例 2：

输入：$\text{n = 2}$
输出：$\text{false}$

数据范围

• $\text{1}\le \text{n}\le {\text{2}}^{\text{31}}-\text{1}$

解法一

思路和算法

将一个正整数替换为它每个位置上的数字的平方和，称为一次操作。

根据快乐数的定义，如果从正整数 $n$ 开始，经过若干次操作（可以是零次）之后变为 $1$，则 $n$ 是快乐数。

• 如果正整数 $n$ 是快乐数，则当 $n$ 变为 $1$ 之后，每次操作将停留在 $1$。

• 如果正整数 $n$ 不是快乐数，则每次操作得到的数形成无限循环，该无限循环不包含 $1$，一定存在某一次操作，该次操作之后变为的数是已经出现过的数。

是否可能每次操作得到的数趋向于无穷大？答案是否定的，理由如下。

1. 由于正整数 $n$ 的最大值是 $2^{31}-1$，$n$ 最多是 $10$ 位数，因此对 $n$ 进行一次操作之后得到的最大可能数是 $9^2\times 10=810$（其实 $810$ 也是不可能达到的，因为此时 $n=10^{10}-1>2^{31}-1$，为了简化逻辑假设最大可能数是 $810$），最大可能数是三位数。

2. 由于最大的三位数是 $999$（同上，其实 $999$ 也是不可能达到的，为了简化逻辑故考虑最大的三位数），对任意三位数进行一次操作之后得到的最大可能数是 $9^2\times 3=243$。

3. 对任意不超过 $243$ 的正整数进行一次操作之后得到的最大可能数是 $163$（当正整数是 $199$ 时可得到 $163$），$163<243$。

根据上述分析可知，对于任意不超过 $2^{31}-1$ 的正整数，经过两次操作之后得到的数一定不超过 $243$，之后经过任意次操作得到的数也一定不超过 $243$，因此每次操作得到的数不可能趋向于无穷大，而是一定会出现循环。

实现方面，需要考虑两个部分。

1. 对于一个数进行一次操作，可以将数转换成字符串之后遍历字符串的每一位计算平方和，也可以直接对给定的数做数位分离计算每一位的平方和，这里使用的是数位分离的做法。

2. 判断每次操作之后变为的数是否已经出现过，需要使用哈希集合存储每次操作之后的数。

由此可以得到判断正整数 $n$ 是不是快乐数的方法。

1. 从正整数 $n$ 开始，每次将 $n$ 加入哈希集合，然后对 $n$ 进行一次操作并用操作后的数替换 $n$，直到 $n$ 已经在哈希集合中，此时出现循环。

2. 当出现循环时，如果 $n=1$ 则返回 $\text{true}$，否则返回 $\text{false}$。

代码

class Solution {
    public boolean isHappy(int n) {
        Set<Integer> set = new HashSet<Integer>();
        while (set.add(n)) {
            n = getNextNumber(n);
        }
        return n == 1;
    }

    public int getNextNumber(int n) {
        int sum = 0;
        while (n != 0) {
            int digit = n % 10;
            n /= 10;
            sum += digit * digit;
        }
        return sum;
    }
}
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复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log n)$。这道题的时间复杂度分析颇为困难，以下给出近似分析。
  每次操作需要遍历数的每一位，时间复杂度是 $O(\log n)$。
  由于对于任意 $n$ 经过至多两次操作之后得到的数一定不超过 $243$，之后经过任意次操作得到的数也一定不超过 $243$，因此允许的操作次数是有限的。
  由于允许的操作次数有限，因此时间复杂度是 $O(243\log n)=O(\log n)$。

• 空间复杂度：$O(\log n)$。空间复杂度主要取决于哈希表，哈希表存储原始正整数 $n$ 和每次操作变成的数，哈希表大小为经过的数的个数。

解法二

思路和算法

根据解法一可知，无论 $n$ 是不是快乐数，对 $n$ 进行足够多次数的操作之后都会出现循环。如果 $n$ 是快乐数，则循环将出现在 $1$ 的位置；如果 $n$ 不是快乐数，则循环将不包含 $1$。

对于循环问题，一个常用的方法是快慢指针。快慢指针一般用于判断是否存在循环，由于这道题中一定存在循环，因此快慢指针用于判断出现循环的数，只需要判断出现循环的数是不是 $1$ 即可。

从起点开始，每次将快指针移动两步，慢指针移动一步，在至少移动一次的情况下，当快慢指针相遇时停止，此时判断快慢指针所在的数字是不是 $1$，即可判断 $n$ 是不是快乐数。

代码

class Solution {
    public boolean isHappy(int n) {
        int fast = n, slow = n;
        do {
            fast = getNextNumber(fast);
            fast = getNextNumber(fast);
            slow = getNextNumber(slow);
        } while (fast != slow);
        return fast == 1;
    }

    public int getNextNumber(int n) {
        int sum = 0;
        while (n != 0) {
            int digit = n % 10;
            n /= 10;
            sum += digit * digit;
        }
        return sum;
    }
}
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复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log n)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。只需要维护快慢指针。