20221121 秩相同，值域不一定相同

值域的问题

假设$A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 和 $B\in {\mathbb{R}}^{p\times q}$ 秩相同，值域不一定相同；但是有一个特例 $A^{T}A$ 和 $A^T$ 的值域相同，秩也相同，具体证明可以参考1. https://blog.csdn.net/weixin_44382195/article/details/127830660?spm=1001.2014.3001.5501、2. https://blog.csdn.net/weixin_44382195/article/details/120594387?spm=1001.2014.3001.5502、3. https://blog.csdn.net/weixin_44382195/article/details/120619281

反例

举个反例：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

秩均为2，但是给定一个 $x=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，被 $A$ 映射到 $\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，这个不存在于 $B$ 的值域中。