分析数学笔记

谢邀，已经学不明白了。

感觉这是一门严谨的学科，可以用一些看起来很显然的结论“踏实”地推出一些非常神秘的结论。
相比于重结论轻证明的OI是有很大差异的。
性感理解，显然

定理和概念好多啊，脑子内存不够了。
这里当个备忘录吧，想不起来就看看。
只写一些感觉需要写的吧（似乎是废话）
随时可能会鸽

夹逼收敛定理(P45):

若 $\lim a_n=\lim b_n=w,\exists N_0\to \forall n>N_0,a_n\le c_n\le b_n$，那么就有 $\lim c_n=w$。

感觉很难想到这个。

单调收敛定理(P50):

单调有界序列必收敛。

太常用了。

闭区间套定理(P56)：

设 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {[an​,bn​]} 为一列闭区间，且满足：
1.$[a_n,b_n]\supseteq [a_{n+1},b_{n+1}],n=1,2,...$
2.$\lim (b_n-a_n)=0$
则存在唯一 $c\in \mathbb{R}$，使得 ${\cap }_n^{\infty }[a_n,b_n]=c$

注意必须是闭区间。

有限覆盖定理(P59)：

如果 { E λ } , λ ∈ Λ \{E_\lambda\},\lambda\in \Lambda {Eλ​},λ∈Λ 是 $[a,b]$ 的一个开覆盖，那么其必存在一个子集是 $[a,b]$ 的有限覆盖。

覆盖需要是开的，区间必须是闭的。

可数集(P62)：

若一个数集 $E$ 只有有限个元素或可以将它的所有元素排成一个序列，则称其为一个可数集。

聚点(P62)：

对于一个实数集 $E$，若对于 $x\in \mathbb{R}$，$\forall \delta >0,U_0(x,\delta )\cap E\ne \varnothing$，则称 $x$ 是 $E$ 的一个聚点。如果 $E$ 的一个元素 $y$ 不是 $E$ 的聚点，则称之为 $E$ 的孤立点。

$x$ 是 $E$ 的聚点和以下命题等价：

1. $\forall \delta >0$，$U(x,\delta )$ 中有 $E$ 的无穷多个点。
2. 存在一个不重序列 { y n } ⊆ E \{y_n\}\subseteq E {yn​}⊆E，$\lim y_n=x$

聚点原理(P62)：

有界无穷集合 $E$ 必然存在至少一个聚点。(P62)

这个感觉就不是很显然了。
可以用有限覆盖定理或闭区间套定理证明。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理(P64)

有界序列必存在收敛的子序列。

可以用聚点定理证明。

柯西序列&柯西收敛准则(P65)

对于一个序列 { x n } \{x_n\} {xn​}，如果 $\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n,m>N,|x_n-x_m|<\epsilon$，那么就称其为一个柯西序列。
一个序列收敛的充要条件是它是一个柯西序列。

必要性显然，充分性用到了波魏定理。

压缩映照原理(P67)

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义，$f([a,b])\subset [a,b]$，且满足 $|f(x)-f(y)|\le q|x-y|,q\in (0,1),x,y\in [a,b]$，那么就存在唯一的 $c\in [a,b]$，使得 $f(c)=c$。

存在性可以通过构造一个 $x_{n+1}=f(x_n)$ 然后通过柯西收敛准则证明，唯一性显然。

上下极限判定(P70)

以下三个命题等价：

1. $h$ 是 { x n } \{x_n\} {xn​} 的上极限。
2. $\forall \epsilon >0,\exists N,n>N$ 时，$x_n<h+\epsilon$；$\forall K,\exists n_K>K,x_{n_K}>h-\epsilon$。
3. 存在 { x n } \{x_n\} {xn​} 的一个子序列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk​​} ，使得 lim ⁡ { x n k } = h \lim \{x_{n_k}\}=h lim{xnk​​}=h，且对于任意子序列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk​​}，有 lim ⁡ { x n k } ≤ h \lim \{x_{n_k}\}\le h lim{xnk​​}≤h。

证明思路：1推2，2推3，3推1，都不太难。
下极限相应同理。

定理2.5.2(P72)

1. 若有界序列 { x n } \{x_n\} {xn​} 由互不相同的数组成，则其上极限 lim ⁡ ‾ n → ∞ { x n } \overline{\lim}_{n\to \infty}\{x_n\} limn→∞​{xn​} 为其最大的聚点，下极限 ${\underline{\lim }}_{n\to \infty }{x}_n$ 为其最小的聚点。
2. 若 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk​​} 为 { x n } \{x_n\} {xn​} 的一个子序列，则有：$\underline{\lim }{x}_n\le \underline{\lim }{x}_{n_k}\le \overline{\lim }{x}_{n_k}\le \overline{\lim }{x}_n$
3. $\lim x_n=a$ 的充要条件是 $\underline{\lim }{x}_n=\overline{\lim }{x}_n=a$。

第三条是我看到上下极限时最先想到的这个概念“存在的意义”。

上下极限的保序性（P74）

1. $x_n\le y_n,n=1,2,3,...$，那么就有 $\underline{\lim }{x}_n\le \underline{\lim }{y}_n,\overline{\lim }{x}_n\le \overline{\lim }{y}_n$。
2. $\underline{\lim }(-x_n)=-\overline{\lim }{x}_n,\overline{\lim }(-x_n)=-\underline{\lim }{x}_n$。
3. $\underline{\lim }{x}_n+\underline{\lim }{y}_n\le \underline{\lim }(x_n+y_n)\le \underline{\lim }{x}_n+\overline{\lim }{y}_n\le \overline{\lim }(x_n+y_n)\le \overline{\lim }{x}_n+\overline{\lim }{y}_n$
4. $\underline{\lim }{x}_n\cdot \underline{\lim }{y}_n\le \underline{\lim }(x_n\cdot y_n)\le \underline{\lim }{x}_n\cdot \overline{\lim }{y}_n\le \overline{\lim }(x_n\cdot y_n)\le \overline{\lim }{x}_n\cdot \overline{\lim }{y}_n$

施笃兹定理（P80）

若 { b n } \{b_n\} {bn​} 为一个严格递增且趋近于正无穷的序列，且 $\lim \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-bn-1}=A$，就有 $\lim \frac{a_n}{b_n}=A$。

其中 $A$ 可以为正负无穷或有界实数。

定理3.1.7（函数极限与序列极限）(P96)

若函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,{\delta }_0)$ 上有定义，那么 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 的充要条件为：对于任意 $U_0(x_0,{\delta }_0)$ 的序列 { x n } \{x_n\} {xn​}，${\lim }_{n\to +\infty }{x}_n=x_0$，有 ${\lim }_{n\to +\infty }f(x_n)=A$。

用途举例：证明 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 无极限。

极限存在性定理(P97)

如果一个函数单调，那么它必存在单侧广义极限。

定理3.1.8

若 $f(x)$ 在 $U_0^{+}(x_0,{\delta }_0)$ 有定义且单调上升，则有 lim ⁡ x → x 0 + 0 = inf ⁡ { f ( x ) : x ∈ U 0 + ( x 0 , δ 0 ) } \lim_{x\to x_0+0}=\inf\{f(x):x\in U_0^+(x_0,\delta_0)\} limx→x0​+0​=inf{f(x):x∈U0+​(x0​,δ0​)}。
若 $f(x)$ 在 $U_0^{+}(x_0,{\delta }_0)$ 有定义且单调下降，则有 lim ⁡ x → x 0 + 0 = sup ⁡ { f ( x ) : x ∈ U 0 + ( x 0 , δ 0 ) } \lim_{x\to x_0+0}=\sup\{f(x):x\in U_0^+(x_0,\delta_0)\} limx→x0​+0​=sup{f(x):x∈U0+​(x0​,δ0​)}。

柯西收敛准则（P98）

若 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,{\delta }_0)$ 有定义，那么 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在的充要条件为：$\forall \epsilon >0$，$\exists \delta >0$，使得 $\forall x^{\prime },x^{\prime \prime }\in U_0(x_0,\delta ),|f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$。

和序列的柯西收敛准则基本是一个东西。

两个重要极限（P99）

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1$。
2. ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$。

函数连续与间断的定义(P103)

设 $f(x)$ 在 $U(x_0,\delta )$ 有定义，若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，且 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个连续点；否则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 间断，且 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个间断点。

间断点分类（P105）

设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

1. 若 $f(x_0+0)$ 与 $f(x_0-0)$ 都存在，此时称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点。此时，若 $f(x_0+0)=f(x_0-0)\ne f(x_0)$，称其为可去间断点，否则称其为 跳跃间断点。
2. 若 $f(x_0+0)$ 与 $f(x_0-0)$ 至少有一个不存在，则称其为 $f(x)$ 的第二类间断点。

其中的“存在”必须是有界实数，不包括广义极限。

连续函数的性质(P108)

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

1. 局部有界性：存在 $\delta >0$，使得 $f(x)$ 在 $U(x_0,\delta )$ 上有界。
2. 局部保号性：若 $f(x)>0$，则存在 $\delta >0$，使得