• Day 66 二叉树 排序


    1.二叉树:

    有关树的专业术语:

    结点
    和链表类似,树存储结构中也将存储的各个元素称为 " 结点 "
    对于树中某些特殊位置的结点,还可以进行更细致的划分,比如:
    父结点(双亲结点)、孩子结点和兄弟结点:
    树根结点(简称 " 根结点 " ):特指树中没有双亲(父亲)的结点,一棵树有且仅有一个根结点。
    叶子结点(简称 " 叶结点 " ):特指树中没有孩子的结点,一棵树可以有多个叶子结点。
    子树
    通常,我们将一棵树中几个结点构成的 小树 称为这棵树的 子树
    知道了子树的概念后,树也可以这样定义:树是由根结点和若干棵子树构成的。
    注意:单个结点也可以看作是一棵树,该结点即为根结点。
    结点的度
    一个结点拥有子树的个数,就称为该结点的度( Degree )。
    比较一棵树中所有结点的度,最大的度即为整棵树的度。
    结点的层次
    从一棵树的树根开始,树根所在层为第一层,根的孩子结点所在的层为第二层,依次类推。
    树中结点层次的最大值,称为这棵树的深度或者高度。
    有序树和无序树
    如果一棵树中,各个结点左子树和右子树的位置不能交换,那么这棵树就称为有序树。反之,如果
    树中结点的左、右子树可以互换,那么这棵树就是一棵无序树。
    在有序树中,结点最左边的子树称为 " 第一个孩子 " ,最右边的称为 " 最后一个孩子 "
    森林
    m m >= 0 )个互不相交的树组成的集合就称为森林。
    前面讲到,树可以理解为是由根结点和若干子树构成的,而这若干子树本身就是一个森林,因此树
    还可以理解为是由根结点和森林组成的。
    空树(简单了解即可)
    空树指的是没有任何结点的树,连根结点都没有。
    总结:树是一种非线性存储结构,通常用来存储逻辑关系为 " 一对多 " 的数据。
    使用树结构存储的各个结点,它们之间的关系类似于家谱中的成员关系,比如有父子关系、兄弟关系、表兄弟关系等。
    二叉树概念:
    满足以下两个条件的树就是二叉树:
    1. 本身是有序树;
    2. 树中包含的各个节点的度不能超过 2 ,即只能是 0 1 或者 2
    二叉树具有以下几个性质:
    1. 二叉树中,第 i 层最多有 2i-1 个结点。
    2. 如果二叉树的深度为 K ,那么此二叉树最多有 2K-1 个结点。
    3. 二叉树中,终端结点数(叶子结点数)为 n0 ,度为 2 的结点数为 n2 ,则 n0=n2+1
    性质 3 的计算方法为:对于一个二叉树来说,除了度为 0 的叶子结点和度为 2 的结点,剩下的就是度为 1 的结点(设为 n1 ),那么总结点 n=n0+n1+n2
    同时,对于每一个结点来说都是由其父结点分支表示的,假设树中分枝数为 B ,那么总结点数
    n=B+1 。而分枝数是可以通过 n1 n2 表示的,即 B=n1+2 n2 。所以, n 用另外一种方式表示为
    n=n1+2 n2+1 。两种方式得到的 n 值组成一个方程组,就可以得出 n0=n2+1
    二叉树还可以继续分类,衍生出满二叉树和完全二叉树。
    完全二叉树:
    如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树,且最后一层的结点依次从左到右分布,则此二叉树被称为完全二叉树。 完全二叉树除了具有普通二叉树的性质,它自身也具有一些独特的性质,比如说, n 个结点的完全二叉 树的深度为 log2n +1
    对于任意一个完全二叉树来说,如果将含有的结点按照层次从左到右依次标号,对于任意一个结点 i ,完全二叉树还有以下几个结论成立:
    1. i>1 时,父亲结点为结点 [i/2] 。( i=1 时,表示的是根结点,无父亲结点)
    2. 如果 2i>n (总结点的个数) ,则结点 i 肯定没有左孩子(为叶子结点);否则其左孩子是结点 2i。
    3. 如果 2i+1>n ,则结点 i 肯定没有右孩子;否则右孩子是结点 2i+1
    满二叉树:
    如果二叉树中除了叶子结点,每个结点的度都为 2 ,则此二叉树称为满二叉树。
    满二叉树除了满足普通二叉树的性质,还具有以下性质:
    1. 满二叉树中第 i 层的节点数为 2i-1 个。
    2. 深度为 k 的满二叉树必有 2k-1 个节点 ,叶子数为 2k-1
    3. 满二叉树中不存在度为 1 的节点,每一个分支点中都两棵深度相同的子树,且叶子节点都在最底层。
    4. 具有 n 个节点的满二叉树的深度为 log2(n+1)
    二叉树的顺序存储:
    二叉树 的顺序存储,指的是使用顺序表 ( 数组 ) 存储二叉树。虽然树是非线性存储结构,但也可以用顺序表存储。
    需要注意的是,顺序存储只适用于完全二叉树。对于普通的二叉树,必须先将其转化为完全二叉树,才能存储到顺序表中。
    满二叉树也是完全二叉树,可以直接用顺序表存储。
    一棵普通二叉树转化为完全二叉树的方法很简单,只需要给二叉树额外添加一些结点,就可以把它 " 拼凑 " 成完全二叉树。
    所谓顺序存储完全二叉树,就是从树的根结点开始,按照层次将树中的结点逐个存储到数组中。
    示例代码入下:
    1. #include
    2. #include
    3. #include
    4. #define Ele int
    5. #define NODENUM 7
    6. typedef Ele bitree[NODENUM];
    7. void initbitree(bitree T){
    8. Ele node;
    9. int i=0;
    10. printf("按照层次从左往右输入树中节点的值,0表示空节点,#表示输入结束:\n");
    11. while(scanf("%d",&node)){
    12. T[i]=node;
    13. i++;
    14. if(i==NODENUM){
    15. break;
    16. }
    17. }
    18. }
    19. Ele parent(bitree T,Ele e){
    20. int i;
    21. if(T[0]==0){
    22. printf("存储的是一个空树。\n");
    23. }else{
    24. if(T[0]==e){
    25. printf("当前节点是根节点,没有双亲节点。\n");
    26. return 0;
    27. }
    28. for(i=1;i
    29. if(T[i]==e){
    30. return T[(i+1)/2-1];
    31. }
    32. }
    33. printf("二叉树中没有指定节点。\n");
    34. }
    35. return -1;
    36. }
    37. Ele leftchild(bitree T,Ele e){
    38. int i;
    39. if(T[0]==0){
    40. printf("存储的是一颗空树。\n");
    41. }else{
    42. for(i=1;i
    43. if(T[i==e]){
    44. if(((i+1)*21)*2-1]!=0)){
    45. return T[(i+1)*2-1];
    46. }else{
    47. printf("当前节点没有左孩子。\n");
    48. return 0;
    49. }
    50. }
    51. }
    52. printf("二叉树中没有指定节点。\n");
    53. }
    54. return -1;
    55. }
    56. Ele rightchild(bitree T,Ele e){
    57. int i;
    58. if(T[0]==0){
    59. printf("存储的是一颗空树。\n");
    60. }else{
    61. for(i=1;i
    62. if(T[i]==e){
    63. if(((i+1)*2+11)*2]!=0)){
    64. return T[(i+1)*2];
    65. }else{
    66. printf("当前节点没有右孩子。\n");
    67. return 0;
    68. }
    69. }
    70. }
    71. printf("二叉树中没有指定的节点。\n");
    72. }
    73. return -1;
    74. }
    75. int main(){
    76. int res;
    77. bitree T={0};
    78. initbitree(T);
    79. res=parent(T,3);
    80. if(res!=0 && res!=-1){
    81. printf("节点3的双亲节点的值为:%d\n",res);
    82. }
    83. res=leftchild(T,2);
    84. if(res!=0 && res!=-1){
    85. printf("节点2的左孩子的值为:%d\n",res);
    86. }
    87. res=rightchild(T,2);
    88. if(res!=0 && res!=-1){
    89. printf("节点2的右孩子的值为:%d\n",res);
    90. }
    91. return 0;
    92. }

    结果如下:

    二叉树的链式存储:

    所谓二叉树的链式存储,其实就是用 链表 存储二叉树,具体的存储方案是:从树的根节点开始,将各个节点及其左右孩子使用链表存储。
    采用链式存储二叉树时,树中的结点由 3 部分构成。
    指向左孩子节点的指针( Lchild );
    节点存储的数据( data );
    指向右孩子节点的指针( Rchild );
    示例代码如下:
    1. #include
    2. #include
    3. #define Ele int
    4. typedef struct bitnode{
    5. Ele data;
    6. struct bitnode *lchild;
    7. struct bitnode *rchild;
    8. }Bnode,*Btree;
    9. void creatbitree(Btree *T){
    10. *T=(Bnode *)malloc(sizeof(Bnode));
    11. (*T)->data=1;
    12. (*T)->lchild=(Bnode *)malloc(sizeof(Bnode));
    13. (*T)->lchild->data=2;
    14. (*T)->rchild=(Bnode *)malloc(sizeof(Bnode));
    15. (*T)->rchild->data=3;
    16. (*T)->rchild->lchild=NULL;
    17. (*T)->rchild->rchild=NULL;
    18. (*T)->lchild->lchild=(Bnode *)malloc(sizeof(Bnode));
    19. (*T)->lchild->lchild->data=4;
    20. (*T)->lchild->rchild=NULL;
    21. (*T)->lchild->lchild->lchild=NULL;
    22. (*T)->lchild->lchild->rchild=NULL;
    23. }
    24. void destorybitree(Btree T){
    25. if(T){
    26. destorybitree(T->lchild);
    27. destorybitree(T->rchild);
    28. free(T);
    29. }
    30. }
    31. int main(){
    32. Btree tree;
    33. creatbitree(&tree);
    34. printf("根节点的左孩子节点为:%d\n",tree->lchild->data);
    35. printf("根节点的右孩子节点为:%d\n",tree->rchild->data);
    36. destorybitree(tree);
    37. return 0;
    38. }

    运行结果如下:

     2.排序:

    概念:排序是计算机内经常进行的一种操作,其目的是将一组 无序 的记录序列调整为 有序 的记录序列。分 内部排序和外部排序,若整 个排序过程不需要访问外存便能完成,则称此类排序问题为内部排序。反之, 若参加排序的记录数量很大,整个序 列的排序过程不可能在内存中 完成,则称此类排序问题为外部排 序。内部排序的过程是一个逐步扩大记录的有序序列长度的过程。
    冒泡排序:
    冒泡排序( Bubble Sort ),是一种 计算机科学 领域的较简单的 排序算法 。它重复地走访过要排序的元素列,依次比较两个相邻的 元素 ,如果顺序(如从大到小、首字母从 Z A 错误就把他们交换过来。走访元素的工作是重复地进行,直到没有相邻元素需要交换,也就是说该元素 列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢 到数列的顶端(升序或降序排列),就如同 碳酸饮料中 二氧化碳 的气泡最终会上浮到顶端一样,故名 泡排序
    选择排序:
    选择排序( Selection sort )是一种简单直观的 排序算法 。它的工作原理是:第一次从待排序的 数据元素 中选出最小(或最大)的一个元素,存放在序列的起始位 置,然后再从剩余的未排序元素中寻找到最小(大)元素,然后放到已排序的序列的末尾。以此类推, 直到全部待排序的数据元素的个数为零。选择 排序 是不稳定的排序方法
    示例如下:
    1. #include
    2. #include
    3. void px(int fs[],int n){
    4. int s,m,min,temp;
    5. for(s=0;s
    6. min=s;
    7. for(m=s+1;m
    8. if(fs[min]>fs[m]){
    9. min=m;
    10. }
    11. }
    12. if(min!=s){
    13. temp=fs[min];
    14. fs[min]=fs[s];
    15. fs[s]=temp;
    16. }
    17. }
    18. }
    19. int main(){
    20. int fs[6]={89,52,36,74,52,75};
    21. px(fs,6);
    22. for(int s=0;s<6;s++){
    23. printf("%d ",fs[s]);
    24. }
    25. printf("\n");
    26. return 0;
    27. }

    运行结果如下:

     插入排序:

    插入排序,一般也被称为直接插入排序。对于少量元素的排序,它是一个有效的算法。插入排序是一种最简单的 排序 方法,它的基本思想是将一个记录插入到已经排好序的有序表中,从而生成一个新的、记 录数增 1 的有序表。在其实现过程使用双层循环,外层循环对除了第一个元素之外的所有元素进行扫描, 内层循环对当前元素前面有序表进行待插入位置查找,并进行移动 。
    精髓:将无序序列插入到有序序列中
    满足以下条件,效率最高:
    ①如果序列基本有序,
    ②插入排序的时候,数据序列比较少
    插入排序是指在待排序的元素中,假设前面 n-1( 其中 n>=2) 个数已经是排好顺序的,现将第 n 个数插到前面已经排好的序列中,然后找到合适自己的位置,使得插入第 n 个数的这个序列也是排好顺序的。按照此 法对所有元素进行插入,直到整个序列排为有序的过程,称为插入排序。
    示例如下:
    1. #include
    2. #include
    3. #include
    4. #include
    5. #include
    6. #define SIZE 5
    7. long get_sys_time(void)
    8. {
    9. struct timeb tb;
    10. ftime(&tb);
    11. return tb.time*1000+tb.millitm;
    12. }
    13. void print(int arr[],int n)
    14. {
    15. for(int i=0;i
    16. {
    17. printf("%d ",arr[i]);
    18. }
    19. printf("\n");
    20. }
    21. void insert_sort(int arr[], int n)
    22. {
    23. for(int i=1;i
    24. {
    25. if(arr[i]-1])
    26. {
    27. int temp=arr[i];
    28. int j;
    29. for(j=i-1; j>=0;j--)
    30. {
    31. if(temp
    32. {
    33. arr[j+1]=arr[j];
    34. }
    35. else
    36. {
    37. break
    38. }
    39. }
    40. arr[j+1]=temp;
    41. }
    42. }
    43. }
    44. int main()
    45. {
    46. int arr[SIZE]={0};
    47. srand((unsigned int)time(NULL));
    48. for(int i=0;i
    49. {
    50. arr[i]= rand()%1000+1;
    51. }
    52. print(arr,SIZE);
    53. long t_start=get_sys_time();
    54. insert_sort(arr,SIZE);
    55. long t_end=get_sys_time();
    56. printf("\n 运行时间:%ld\n",t_end-t_start);
    57. print(arr,SIZE);
    58. return 0;
    59. }

    快速排序:

    快速排序( Quicksort ),计算机科学词汇,适用领域 Pascal c++ 等语言,是对 冒泡排序 算法的一种改进。
    快速排序算法通过多次比较和交换来实现排序,其排序流程如下:
    (1) 首先设定一个分界值,通过该分界值将数组分成左右两部分。
    (2) 将大于或等于分界值的数据集中到数组右边,小于分界值的数据集中到数组的左边。此时,左边部分中各元素都小于分界值,而右边部分中各元素都大于或等于分界值。
    (3) 然后,左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据,又可以取一个分界值,将该部分数据分成左右两部分,同样在左边放置较小值,右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理。
    (4) 重复上述过程,可以看出,这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后,再递归排好右侧部分的顺序。当左、右两个部分各数据排序完成后,整个数组的排序也就完成了
    示例如下:
    1. #include
    2. #include
    3. void px(int fs[],int start,int end){
    4. int i=start;
    5. int j=end;
    6. int temp=fs[start];
    7. if(i
    8. while(i
    9. while(i=temp){
    10. j--;
    11. }
    12. if(i
    13. fs[i]=fs[j];
    14. i++;
    15. }
    16. while(i
    17. i++;
    18. }
    19. if(i
    20. fs[j]=fs[i];
    21. j--;
    22. }
    23. }
    24. fs[i]=temp;
    25. px(fs,start,i-1);
    26. px(fs,i+1,end);
    27. }
    28. }
    29. int main(){
    30. int fs[6]={56,89,21,58,33,45};
    31. int s;
    32. px(fs,0,5);
    33. for(s=0;s<6;s++){
    34. printf("%d ",fs[s]);
    35. }
    36. printf("\n");
    37. return 0;
    38. }

    运行结果如下:

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