自动控制一些知识

0 控制概念

0.1自动控制系统

自动控制系统就是在没有人为参与的情况下，应用控制器自动的有目的的操纵被控对象，是被控量按照预期的规律运行。

0.1.1 控制结构

执行机构在控制器下对被控对象执行具体的操作。

0.2 反馈

以误差纠正误差
正反馈：反馈信号与系统给定值极性相同（反馈增强输入）
负反馈：反馈信号与系统给定值极性相反（反馈减弱输入）

0.3 开环控制

开环控制系统：被控对象的输出对控制器的输出没有影响
开环特点；控制方式简单，精度底、不存在稳定性问题

0.4 闭环控制

闭环控制系统：被控对象的输出反馈回来影响控制器的输出
闭环特点：控制精度高，但可能有稳定性问题

0.5 控制理论与控制工程

第一次工业革命的控制——解决动态系统稳定性的问题

• 控制理论派
  建立精确的物理模型，尽可能的将控制对象及其所在环境模型描述准确，再结合李雅普诺夫函数找出高效的控制律。
• 控制工程派
  不能过度强调精确建模，因为这样设计的控制律鲁棒性太低
  好的控制策略应该是自抗扰控制

0.6 专业名词

0.6.1 SISO

单输入——单输出系统（simple input simple output）

2. 控制系统的数学模型

控制系统的数学模型是描述系统各物理量之间关系的数学表达式。
Note1：系统可以是工程系统、经济系统、社会系统
ote2: 数学表达式可以是代数方程、微分方程、差分方程

2.1 控制系统的时域数学模型

2.2 控制系统的复数域数学模型

2.2.1 传递函数的定义和性质

2.2.5 典型环节的传递函数

比例环节：
y(t)=Kr(t) t≥0
传递函数：

惯性环节：

积分环节：

微分环节：

振荡环节：

延迟环节：（时滞环节）

3 线性系统的时域分析

时域分析——表述一：

• 以时间为自变量描述物理量的在时域内对信号进行滤波、放大、统计特征计算、相关性分析等统称为信号的时域分析。

时域分析——表述二：

• 控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。

时域分析的特点：

• 直接在时间域中对系统进行分析具有直观和准确的优点。
• 时域的分析方法可以有效提高信噪比，求取信号波形在不同时刻的相似性和关联性，获得反映机械设备运行状态的特征参数，为机械系统动态分析和故障诊断提供有效信息。

复频域分析：

• 具体根据闭环系统传递函数的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。

3.1 系统时间响应的性能指标

3.1.1 典型输入信号

3.1.1.1 阶跃函数

其中A为函数的阶跃值，当A=1时称单位阶跃函数

冲激函数：

3.1.1.2 斜坡函数

B为斜坡系数，当B=1时称为单位斜坡函数
Note：等速度函数，斜坡函数是阶跃函数对时间的积分

1.3.1.3 单位脉冲函

3.1.1.4 正弦函数

r(t)=Asinwt

其中A为振幅，w为角频率

3.1.1.5 抛物线函数

Note：等加速度函数，抛物线函数是斜坡函数对时间的积分

3.1.3 时域性能指标

• 超调量σ%
  定义：输出响应的最大值为超过输入稳态值的最大偏移量与稳态值之比
  

• 上升时间$t_r$
  定义：输出响应第一次达到稳态值所需时间。
  上升时间越短，反应速度越快

• 峰值时间tp
  定义：输出响应超过稳态值达到第一个峰值$y_{max}$的时间

• 调节时间ts
  定义：y(t)与y(∞)的误差达到允许值的时间

• 振荡次数N
  定义：在调节时间内，y(t)偏离y(∞)的振荡次数。

峰值时间和上升时间表示动态过程进行的快慢——衡量快速性
超调和振荡次数反映了系统动态过程的激烈程度——衡量平稳性
调节时间，既衡量快速性又衡量平稳性

3.3 二阶系统的时域分析

3.5线性系统的稳定性分析

3.5.1 稳定性

定义

• 稳定性：稳定性就是系统在扰动消失后，恢复到原平衡状态的性能。是系统本身的一种特性，与输入输出无关。开环系统的稳定性分为开环稳定和开环不稳定
  • 开环稳定系统的所有极点为负
  • 反之为开环不稳定
• 外部稳定：有界输入，有界输出。BIBO
• 内部稳定：零输入响应有界，状态稳定。
  • 经典控制：对外部稳定性进行分析。
  • 现代控制：通过李氏函数对内部稳定性进行分析。

3.5.2稳定性判定

稳定：所谓稳定是指闭环传函的稳定，因为输入总是稳定的，因而稳定由输出体现。

稳定的工作点：在某个状态时，对象的输入激励信号和输出的响应信号的变化量均为零，增量的各阶导数也为零。

线性系统稳定的充要是，闭环系统特征方程的所有根在s平面的左半平面。
因为对于特征方程1+G(s)H(s)=0来说，求解它的根往往意味着解五六阶的方程，这在么有计算机的情况下是非常困难的，所以有了根轨迹，奈奎斯特图。
根轨迹、奈奎斯特都是通过开环传递函数G(s)H(s)的零极点去判断编混传递函数极点的位置。判断闭环极点是否位于左平面内。
而开环传递函数G(s)H(s),实际上是没有多大的实际物理意义的。也就是说，开环传递函数就是研究系统闭环特性的一个桥梁。

主导极点：离虚轴最近的闭环极点

3.6线性系统的稳态误差计算

3.7 输入信号作用下稳态误差

3.7.1 当输入为单位阶跃

3.7.2 当输入为单位斜坡

3.7.3 当输入为单位加速度

4 线性系统的根轨迹法

根轨迹就是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
$$rlocus(G)$$
典型根轨迹即k从$0-\infty$时的闭环特征根在s平面上的轨迹。

• 对闭环传递函数的分析

4.1 根轨迹定义

跟轨迹是所有系统闭环极点的集合，根轨迹的每一点都是特征方程的根。特征方程的根是闭环传递函数的极点，也是开环传递函数的零点。

• 闭环极点a在右半平面意味着开环零点a在右半平面。
• 意味着时域响应中存在e^at成分，即随着时间增加响应越来越大了。
• 根轨迹的点在左平面意味着时域响应中存在e^-at成分，即衰减。

特征多项式：

• 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成
  • 对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点（自动控制原理原文）

4.2 根轨迹方程

特征方程： 1+G(s)H(s)=0，或G(s)H(s)=-1，也就是根轨迹方程
绘制根轨迹即寻找所有满足上述方程的根

Note：根轨迹上的零极点都是开环传函的，其上的所有点都是令G(s)H(s)=-1的点。所以最终的S是闭环传递函数的特征方程的根。

开环传递函数的零极点增益形式
Note:相角条件用来绘制根轨迹，只要找出s平面上所有满足相角条件的点s，即可绘制完整根轨迹
Note：幅值条件用来确定根轨迹上点s对应的K值

5. 线性系统的频域分析法

频率法将控制系统中的各个信号看作是由许多不同频率的正弦信号合成的。

• 这些正弦信号在传递过程中，振幅和相角按照一定的函数关系变化，从而使系统呈现出不同的运动形式。
• 也就是说，要求得 频率特性G(jw),只要将传递函数G(s)中的s用jw代替。无论是阶跃还是斜坡还是加速度，频率法仅仅是将它们当做了正余弦信号的组合函数，而没有做出任何实质性的变形，在频率口输入了频率后就万事大吉了，乖乖的蹲在输出口等着出来一个用幅值和相角描述的结果。

5.1 频率特性

5.1.1 频率特性的基本概念

设点从C的出事电压为$u_0$,取输入信号为 $u_i=Asinwt$

之后取反变换：

频率特性
零初始条件下，线性系统或环节，在正弦信号作用下，稳态输出与输入的复数比。由于频率特性也是系统的动态数学模型描述，因此也包含着系统变化过程的全部信息。

普遍性证明：

频率响应
频率响应即幅频响应与相频响应，幅值与频率随着经济的变化与变化。

幅频特性
$A（\omega ）=|G(jw)|$ ,ω的函数,传递函数的模值

相频特性
$\phi （\omega ）=\angle G(jw)$，ω的函数,传递函数的相角

幅值频率特性
简称频率特性

5.1.2 频率特性的几何表示法

5.1.2.1 幅相频率特性曲线/幅相曲线/极坐标图/奈氏图

横轴为实轴，纵轴为虚轴，构成复平面图
如G(jw)H(jw)的复平面表示图即为开环福相频率特性曲线，同时也是奈奎斯特图。

5.1.2.2 对数频率特性曲线(伯德图)

横轴为$lgw$，单位弧度每秒（rad/s）
纵轴为$L(w)=20lg|G(jw)|=20lgA(w)$，单位是分贝（dB）
其中对于横轴的对数分度，当变量w变化十倍频程也就是从1变到10，坐标间距离变化为一个单位长度。
截止频率：伯德图与横轴的交点处的频率值。

• $20logA(w)=0$
• $10^m=A$
• $A（w）=1$时，wc为截止频率
  • 代表着幅值为1，也就是输入与输出的幅值不变。

不同的开环截止频率对应了不同的闭环频带宽度.

Note(使用伯德图表频率特性的原因)：

• 由于研究频率响应时动辄上百万兆赫，而放大倍数从几倍到几百倍
• 为了在同一坐标系中表示如此范围，故采用对数坐标。
• 对N取对数，就是说10的几次等于N，N会保持原趋势的情况下几何缩小。

5.2典型环节与开环系统的频率特性

5.2 典型环节的频率特性

5.2.1 最小相位与非

5.2.3振荡环节和二阶微分环节

$$G(s)=\frac{1}{(s/w_n{)}^2+2\xi (s/w_n)+1}$$
振荡环节的频率特性
$$A(w)=\frac{1}{\sqrt{(1-\frac{w^2}{w_n^2}{)}^2+4{\xi }^2\frac{w^2}{w_n^2}}}$$

5.4 稳定域度

频域的稳定裕度常用相角裕度γ和幅值裕度h来衡量
相角裕度γ和幅值裕度h常用开环传函来定义

Note：$w_x$在单位圆内部与负实轴相交，h>1
Note: $w_c$在负实轴之下与单位圆相交，γ>0

Note：$w_x$在单位圆内部与负实轴相交，h>1
Note: $w_c$在负实轴之下与单位圆相交，γ>0

一般来说，系统的幅值裕度应大于6dB，相角裕度应位于30-60范围内，h越大，越稳定，γ在45°左右适宜，

5.7 滤波器

定义：滤波器是由电容、电感、电阻组成的滤波电路
作用：滤波器可以对电源中特定频率的频点或除该频点以外的频率进行有效滤除。得到或消除某一特定频率信号。

5.7.1 高通滤波器

高于截止频率F1的信号才能通过该电路。

5.7.2 低通滤波器

只有低于F2的信号才能通过该电路。

5.7.3 带通滤波器

上述两种的结合。

只有f1和f2之间的频率信号可以通过。带宽就是F2和F1之差。带宽大可以通过更多频率的信号。

5.7.4 频域滤波

滤波就是将某条曲线出去特定的频率成分
如：将sin(3x)+sin(5x)的曲线拿去特定成分sin(3x)
这种事在时域中基本做不到
而在频域中却非常简单。

5.7.4频域解微分方程

将微分方程进行傅里叶变换可以在频域中变为乘法与除法形式。消除了微分与积分的不便。

• 用拉氏变换将时域转换为复频域，将高阶微分方程变为了代数方程，所以便于求解
• 解释：因为指数函数和三角函数都有求导后函数性质不变的特性

也就是说：微积分变成了加减乘除。

如微分定理所示：
分的时候，消除了微分。巧的是，欧拉公式为ex赋予了频域的意义。

• $e^x$与三角函数都有一个特点，导数不变性。

5.7.6 复杂函数分解

拉普拉斯变化可以将不满足狄利赫里条件的复杂函数分解为幅值按时间成指数规律增加的的不同频率的正弦信号之和。
Note：拉氏变换可以视为把系统状态的时间序列被分解为无穷个时间序列的带权重的和。

6 线性系统的校正方法

6.1 系统校正与校正问题

一般情况下， 一个系统可以调整的仅仅是放大器的增益，但往往不能满足系统性能指标的要求。
故，引入一些附加装置来修正系统的性能，从而使之满足性能指标，称之为校正。
校正一般分为串联校正、并联校正、前置校正、补偿校正等
校正分为时域校正与频域校正

• 时域校正：反馈校正
• 频域校正：超前校正、滞后校正、滞后-超前校正都是基于频率法的串联校正装置

由于引入串联校正

在改变系统闭环极点的同时会增加一个零点。
前馈校正是以配置前置滤波器的方式改善系统性能

6.2 超前补偿器

a为超前深度，T为时间常数
适用于：

实质：利用超前网络的相角超前幅值增加的特性，校正后可使系统的$w_c$与γ均有所改善。从而改善系统的动态性能。
给脉冲输入
因此无论怎么改变k值都无法调整收敛速度。
所以，改变根轨迹就是路子
为什么选择-2+2根3?因为根靠左可以加快收敛速度。
因为PD中D不能物理实现且微分项对噪声十分敏感。所以用超前补偿。
使用超前补偿

• 相当于PD控制，增加了一个零点，根轨迹向左移动，提高系统的稳定性，改善瞬态响应。
• PI控制，滞后，改善系统的稳态误差。

6.3 滞后补偿器

G=N(s)/D(s)
PI与滞后补偿的区别和联系，当P=0时，上述稳态误差趋近于零。因此H(s)=(s+z)/(s+0)=1+z/s;便成了PI控制。

• 引入了积分后把原来的一阶系统提升为二阶系统。
• 补偿器的本质就是加上一对零极点
  零极点非常靠近虚轴时也就是很小时产生的角度差别不大，因此对根轨迹影响不大。所以应设计的尽量靠近虚轴

6.6 PID控制

Proportional integral derivative
PID实际上是一种根据波特图在频域上进行计算的线性控制方法。

6.6.1 PID作用

由比例单元proportional，积分单元integral，微分单元derivative构成。利用偏差、偏差的积分值、偏差的微分值实现对系统的控制。

工程师所做的事情，不过是设置正确的输入到系统中得到想要的输出而已。

• P越大，u(t)越大，响应越快，余差越小，但越张，超调越大，P到一定值系统将不会稳定

• I越大，积分作用越大，消除静差越快，但Ki太大可能会导致系统不稳定。

• D小时，对系统的影响不大，D适当时对稳定性，响应速度，超调都会有影响，D太大会导致系统不稳定

6.6.2 PID适合的情况

PID应该关注行为良好的系统：几乎线性的稳定系统

• 高度非线性以至于线性控制器无法让它稳定。你需要尝试去稳定它。
• 如果开环不稳定、有很大延迟、有非最小相位环节。这些情况下，典型的PID控制可能不会起作用，系统需要更高级的控制调节方法

6.6.3 P

kp 只提高开环增益，通过调节Kp调节响应速度

• 比例控制器能够及时成比例反映系统的偏差信号
• 但不能消除稳态误差
• kp越大，调控越快

6.6.4 PD

$$kp(1+\tau s)$$

对于分子增加了一个零点，增加了阻尼ξ。通过调节ξ，间接改变γ，修正稳定性

• D效果：加大惯性响应速度，减弱超调

6.6.4 I

$$\frac{k_i}{s}$$
提高了系统型别，$e_{ss}$性能更好，但增加了开环极点，信号产生90°滞后

• 调节稳态，破坏稳定性，不单独使用
• I效果：消除稳态误差，增加了超调

6.6.5 PI

相当于增加了一个I，一个PD。

• I提高系统型别，调节稳态。
• PD增加了一个零点，调节阻尼（减少），缓和不利影响

6.6.6 PID

相当于增加了一个I，两个PD（一个PI，一个PD）。

• I提高系统型别，调节稳态
  两个负实零点，更好的抵消角度的滞后。（修正稳定性）

原理：

6.6.7 PID积分饱和

例子：
假设无人机盘旋在50m需要转速100rpm（round per minute）

• 从纯比例角度， 就算是你的增益是100，也必须存在1的误差，才能维持输出。
• 所以仅有比例环节是远远不够的。

引入积分环节

• 积分模块有记忆作用，它将误差累加起来。50+30+20…，这样反馈后系统会继续调节，直到误差为0
• 当到达目标位置后，比例环节不再发挥作用，而积分模块刚好到达一个值，通过积分环节维持该状态。
• 按理说可以了，但是调节过程中，经常会发生超过100rpm的情况。即比例环节和积分模块用力过猛。

这时，我们需要微分调节。

• 微分环节即误差的变化率，输出误差减小，$e_t-e_{t-1}<0$代表误差变号；
• 微分值为负, 当误差减小很快的时候，微分的负值较大，通过输出负值，来降低控制器输出。

积分饱和

• 理论上PID输出的控制信号可以无限增大，但是我们的执行器却是会饱和的，也就是最多能转1000转，输出了2000，但最终却需要100维持。
• 当松开无人机，快速上升，误差减小，但积分仍增加。
• 到达指定高度，误差变负，输出减小。但是积重难返啊。
• 所以，有较大的超调。所以，无人机没了就。

这时我们需要clamp（夹紧）钳制。

• 在输出控制命令后加一个clamping saturation控制饱和度，比较输入前后的两个值，如果相同符号说明没有达到饱和，不同则是达到饱和。然后其中sign是看积分是持续增加还是减小（1是增加，-1是减小）
• 即误差是正的，输出是正的，且输出信号饱和，（还未到，积分、比例起主要作用，输出超过1000转，）则需要钳制。
• 误差是正的，输出是负的（还未到，微分特别大，减速），则不需要钳制
• 钳位就是在不需要的时候关闭积分器

6.6.8 微分问题

微分即为误差的变化率。判断我们是否过快的接近目的。

• 微分大表明变换越剧烈
• 当误差正负转变时也就是微分最大的时候。

微分的两个问题

• 一是噪声的随机干扰
  • 白噪声：不同频率下具有相同强度的噪声。
  • 微分环节会放大高频信号，微小的扰动足以影响整个系统

解决方法

• 防止高于某个频率的信号进入微分环节。该频率称截止频率，该环节就是滤波器。

低通滤波

6.7 位置型离散化PID

输入量$i_t,输出量o_t$

在第k个T时刻

• 偏差量：$e_k=i_k-o_k$

增量式离散化PID：

如上，增量式表达结果与近三次的偏差有关，从而提高了系统的稳定性。

8 非线性控制系统分析

8.1 非线性系统概述

线性系统：

• 满足齐次性和叠加性的系统
  • 叠加性指几个信号共同作用时，总输出等于每个输入单独作用时产生的输出总和。
  • 齐次性指输入信号增大若干倍时，输出也增大同样的倍数。

非线性系统：

• 若一个输入输出不成正比，则它是非线性的。
  • 一切高于一次的多项式函数关系都是非线性的。
    如高次、三角函数、常数项皆非线性

非线性为什么转线性

• 人们日常生活中所需要的是缓慢的线性变化，而非突然的非线性变化。
• 非线性系统无迹可寻，线性系统可以根据规律由一部分推出其它部分。
• 非线性系统由多个线性系统组成。
• 过程数据辨识一个线性模型相对容易
• 装置运行在工作点附近时，线性模型可以给出很好的结果。

线性模型同二次型目标函数一起可以构成一个凸规划问题。

9 线性系统的状态空间分析与综合

9.1 线性系统的状态空间描述

离散信号

零阶保持器

零阶保持器：将采样时刻KT的采样值恒定不变的保持到下一采样时刻（k+1）T

附录A

A.1 傅立叶变换和拉氏变换

A.1.1 傅立叶级数

傅里叶级数：任何一个周期的信号分解为无限多的离散的正弦波
傅里叶变换：对于满足狄利赫里条件的周期信号，可以分解为一组成谐波关系的正弦信号。能量有限。

感谢花生油大大的图。

傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数
傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。

A1.1.1频谱

将无限多的正弦波通过数量叠加可以得到时域信号
这样，一组随时间变化的时域正弦信号被表示为了频域的一组离散点。

• 频域的横轴为频率，纵轴为振幅。
• 频谱方向由频率的由低到高确定而排开
• 频谱图只能反映幅值，没有相位
• 频谱图可以有振幅为0的正弦波，也就是说组成特定曲线时，某些波是不需要的。
• 频谱图频率为0的正弦波，即Acos(0t)只影响波形的整体上移和下移。
• 每两个正弦波之间有一条直线，是振幅为0的偶次谐波，组成方波的正弦波中，偶次谐波的幅值均为0.
• 基波分量：频谱图频率最低的频率等于这个周期信号自己的频率，该频率称为基波频率，并以此作为构建频域的基本单元，称为基波分量.
• 谐波分量：大于基波频率，且是基波频率整数倍的各次正弦分量称为谐波。对应频率称为谐波频率，称2次谐波、3次谐波…

A1.1.2相位谱

基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。
感谢花生油大大的图。
正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。

• 小红点是距离频率轴最近的波峰
• 投影点我们用粉色点来表示。

感谢花生油大大的图。
将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。

相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t）
由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。

A.1.2 傅立叶积分和傅立叶变换

任一周期函数内，只要满足狄利克雷条件，便可以展开为傅里叶级数。
对非周期函数，可以看作周期T无穷大，角频率$w_0=2\pi /T$趋于0的周期函数。
此时：


傅里叶变换例子

我们研究输入为非正弦函数的线性系统时，应用傅里叶函数，可以将时域函数变换为频域函数

• 通过对系统各种频率正弦波的响应特性来了解系统对非正弦输入的响应特性。
• 正是频域分析的基础

A.1.3 拉式变换

绝对可积可以理解为在时间轴上面积不是无穷的函数

其中s为复频率，s=σ+jw

拉普拉斯反变换中的$\xi$纠正为s。只要$s=\sigma +jw中的\sigma 足够大$，拉普拉斯反变换的积分就存在。
当s为纯虚数时，拉普拉斯变换与傅里叶变换相同。

诸如，阶跃信号、冲激信号

故无论是实部还是虚部都是幅值按时间成指数规律增加的正弦信号

拉氏变换的频谱是一个在复平面上的函数

傅里叶变换得到的频谱则是从虚轴上切一刀得到的函数剖面。

A.1.4 拉氏变换的积分下限

A.1.5 拉氏变换定理

• 用途：求解线性定常微分方程。（用拉氏变换将时域转换为复频域，由于摆脱了微分，所以）
• 拉氏变换条件：
  ①　当t<0时，f(t)=0;
  ②　当t>=0时，f(t)是分段连续的；
  

1. 线性性质
2. 微分定理
   
3. 积分定理

5. 分解定理：
   D（s）=0有n个单根：
   
   
   

A.1.6 常见拉氏变换

背景：如果象函数简单，通常查拉氏变换表求出其原函数；如果不能直接查表，则分解为若干个能够查出的项。分解方法为部分分式展开法或者叫做分解定理；

A1.7拉普拉斯反变换

背景：如果象函数简单，通常查拉氏变换表求出其原函数；

• 如果不能直接查表，则分解为若干个能够查出的项。
• 分解方法为部分分式展开法或者叫做分解定理；

分解定理：

D(s)=0有重根
设$s_{1}y$有m阶重根

A 1.8 Z变换

拉普拉斯变换针对连续时间信号
Z变换针对离散时间信号

附录B 磁悬浮控制

B.1 传递函数

磁悬浮球系统传递函数式的根轨迹图，复平面的右半平面有两条根轨迹，没有任何增益值可以抵消不稳定极点的影响从而稳定系统。

引入反馈

B.1.1 超前校正

校正前系统伯德图

未校正的磁悬浮系统没有截止频率，相角裕度γ未知

超前校正：

B.1.2 PID校正

牛顿法

牛顿最优化问题：对f(x)求极大值极小值问题。
二阶泰勒展开

A. 一般认为牛顿法比梯度下降更容易收敛一些。