代码随想录52——动态规划：300最长递增子序列、674最长连续递增序列、 718最长重复子数组

1.300最长递增子序列

参考：代码随想录，300最长递增子序列；力扣题目链接

1.1.题目

1.2.解答

最长上升子序列是动规的经典题目，这里dp[i]是可以根据dp[j] （j < i）推导出来的，那么依然用动规五部曲来分析详细一波：

1.dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾最长上升子序列的长度

2.状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于 j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要 dp[i] 与 dp[j] + 1 进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值，这个是通过for循环来实现的。

3.dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长上升子序列）起始大小至少都是1.

4.确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长升序子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是0到i-1，遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
    if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}
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5.举例推导dp数组

输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下

直接给出代码如下：

int lengthOfLIS(vector<int> &nums)
{
    if(nums.size() <= 1)
        return nums.size();
    int result = 0;  // 最终结果

    // 1.定义dp数组
    vector<int> dp(nums.size(), 1);

    // 2.动态规划，计算前面的每一个子串的最长序列
    for(int i = 1; i < nums.size(); i++)
    {
        // 对这个子串，计算它前面的所有子串的最大长度
        for(int j = 0; j < i; j++)
        {
            // 当前位置元素 > 子串的最后一个元素，则递增序列长度可以+1
            if(nums[i] > nums[j])
            {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);  // 和上一次的比，取最大值
            }
        }
        // 找到了以i结尾的子串的最大递增长度，求最终的最大递增长度
        if(dp[i] > result)
            result = dp[i];
    } 

    return result;
}
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注意：这道题目感觉很简单，但是感觉还是没有完全理解。注意以下两点：

• 遍历i结束的子串的最大递增长度的时候，需要从前面的所有子串的最大递增长度中挨个对比，找到最大的递增长度
• 最终要的是最大递增的子序列，所以并没有要求整个数组的最大递增序列，也就是不要求最后结尾的字符一定是数组的最后一个字符，因此最终结果并不是dp.back()，而是要在dp数组中寻找最大值。所以在代码中for(i)的循环中就一直在用result记录最大值。

注意：这道题目自己的疑问可能就是在于，为什么在当前i的位置找最长的递增序列的时候，遍历i之前的所有子串j，然后nums[i] > nums[j]的话，就可以把最长的递增序列+1呢？有可能会nums[j]并不是递增的数啊，也就是0-j的递增的子序列长度和j无关，是0 - (j-1)的子序列的递增长度，所以现在如果nums[i] > nums[j]的话，未必可以保证nums[i]也是相比0 - (j-1)的子序列递增的啊？

解答：其实是因为前面自己对dp数组的理解出现了问题！（不过代码随想录中也没说清楚，他说的是dp[i]是i之前包括i的以nums[i]结尾最长上升子序列的长度）。其实这里的dp数组虽然仍然是上升子序列，但是要求这个子序列必须是以nums[i]为结尾的，也就是这个递增子序列中必须有nums[i]！所以说，只要nums[i] > nums[j]，由于dp[j]是以nums[j]为结尾的最长递增子序列的长度，所以现在nums[i] > nums[j]之后，那么以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度就一定是dp[j]+1。这样我们把所有的nums[i]结尾的子序列遍历完成之后，最长的子序列就是这些子序列的最长长度中的最大值！

如下所示，数组和以他们为结尾的最长子序列的长度。所以最后的结果就是从所有的最长递增子序列中寻找一个最大的值，也就是寻找dp[i]数组中的最大值，这也就是代码中if(dp[i] > result) result = dp[i]的作用，就是在寻找dp数组中的最大值。因此，dp数组的含义是：以nums[i]为结尾、必须包含nums[i]的最长递增子序列的长度。

注意：如下的理解是错误的，就是认为dp[i]是从0-i的子序列的最大递增长度，未必包含nums[i]。这样的话问题就出现在无法使用递推公式进行递推了。比如nums[0] - nums[4]的最大递增长度是5，现在nums[5] > nums[4]，但是怎么知道nums[0] - nums[5]的最大递增长度呢？没法知道，关键因素就是如果按照这样定义dp数组，最大递增长度中不一定含有nums[i]，这样就导致没法判断最长递增序列的最后一个数是多少了，所以就没法对比了。

2.674最长连续递增序列

参考：代码随想录，674最长连续递增序列；力扣题目链接

2.1.题目

2.2.解答

本题相对于 动态规划：300.最长递增子序列 最大的区别在于“连续”。

动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度为dp[i]。注意：和昨天的题目一样，这个递增序列中一定是包含nums[i]的，这样后面才能使用递推公式，原因分析见上一题的最后自己写的笔记。

注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。注意：这里不一定以nums[0]为起始位置很重要，比如1, 2, 5, 3, 4，遍历到3的时候发现不是连续递增了，所以就又重新从1开始计算连续递增子序列长度了，然后到4的时候以4结尾的连续递增子序列长度变为2。

2.确定递推公式

如果 nums[i + 1] > nums[i]，那么以i+1 为结尾的数组的连续递增的子序列长度 一定等于 以i为结尾的数组的连续递增的子序列长度 + 1 。即：dp[i + 1] = dp[i] + 1;

注意这里就体现出和动态规划：300.最长递增子序列的区别！因为本题要求连续递增子序列，所以就必要比较nums[i + 1]与nums[i]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

注意：这里也可以借此机会再次好好理解昨天的题目。昨天的题目因为不要求是连续的子序列，所以当前的nums[i]就要和0 - (i-1)结尾的所有子序列的最后一个数进行比较，如果nums[i] > nums[j]，那么就找到了一个以nums[i]结尾的递增子序列，就可以计算这个递增子序列的长度；然后遍历所有的0 - (i-1)结尾的子序列，最后就可以找到以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度。

而本题中，由于要求必须是连续递增的子序列，所以不需要遍历之前以0 - (i-1)结尾的所有子序列了，只需要遍历nums[i-1]结尾的子序列即可。

3.dp数组如何初始化

以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素，所以dp[i]应该初始1。

4.确定遍历顺序

从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

本文在确定递推公式的时候也说明了为什么本题只需要一层for循环，代码如下：

for (int i = 0; i < nums.size() - 1; i++) {
    if (nums[i + 1] > nums[i]) { // 连续记录
        dp[i + 1] = dp[i] + 1; // 递推公式
    }
}
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5.举例推导dp数组

已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：
最后给出代码如下，很简单：

int findLengthOfLCIS(vector<int> &nums)
{
    if(nums.size() <= 1)
        return nums.size();
    
    int result = 0;  // 最终结果

    // 1.定义并初始化dp数组
    vector<int> dp(nums.size(), 1);

    // 2.动态规划开始递推
    for(int i = 1; i < nums.size(); i++)
    {
        if(nums[i] > nums[i-1])
        {
            dp[i] = dp[i-1] + 1;  // 如果递增，则递增长度+1
        }
        else
        { }// 否则什么也不干，即重新开始一个新的递增序列，递增子序列长度重新初始化成1

        // 记录最终的最长连续递增子序列
        result = dp[i] > result ? dp[i] : result;
    }

    return result;
}
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3.718最长重复子数组

参考：代码随想录，718最长重复子数组；力扣题目链接

3.1.题目

3.2.解答

动归五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。

其实这个地方主要是为了后面的递推公式计算的方便，把dp[0][j]和dp[i][0]，即第0行、第0列都初始化成0，方便递推公式计算，后面看dp数组的状态图就明白了。

2.确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

3.dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

4.确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。或者外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。这俩没有什么区别，结果都是一样的。

同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。

代码如下：

for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
        if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        }
        if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
    }
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5.举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

最后给出代码如下，注意如下代码中自己做了一些调整， 主要是i/j的意思。上面代码随想录的i/j指的是dp数组中的索引，由于dp数组为了方便递推公式增加了第0行和第0列，这样对应nums中的索引就是i-1/j-1；下面自己写的代码中i/j值得就是nums中的索引，由于dp数组为了方便递推公式增加了第0行和第0列，所以对应dp数组中的 索引是i+1/j+1。

int findLength(vector<int> &nums1, vector<int> &nums2)
{
    if(nums1.empty() || nums2.empty())
        return 0;

    int result = 0;   // 记录最终结果

    // 1.定义并初始化dp数组
    vector<vector<int>> dp(nums1.size()+1, vector<int>(nums2.size()+1, 0));

    // 2.动态规划：类似背包问题，开始递推
    for(int i = 0; i < nums1.size(); i++)
    {
        for(int j = 0; j < nums2.size(); j++)
        {
            if(nums1[i] == nums2[j])
            {
                // 注意这里dp[0][j]和dp[i][0]都初始化成0，没有物理意义，只是为了方便递推公式计算
                dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1;
            }

            // 更新最大长度
            result = dp[i+1][j+1] > result ? dp[i+1][j+1] : result;  
        }  
    }

    return result;
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